用结构的眼光看数数

作者: Pope怯懦懦地 | 来源:发表于2022-07-27 22:14 被阅读0次

问小妞「3 + 3 等于几？」。小妞自信地答道「4」😔。我想了下，可能是∵小朋友现在只有「后继」的概念，而没有「加法」的概念，∴第一反应是「3 的后继是 4」。@pan🍳 说，也可能是你们经常问「1 + 1 = ?」。久了之后得出「n + n = n + 1」的谬论。似乎也有道理。但，还不够本质。

在读 @伍鸿煕的《数学家讲解小学数学》。读这本书只想搞明白一件事：「数学结构」究竟长什么样？

为什么 22 ≠ 2 + 2 ？

∵这两个 2 其实是不一样的，前一个 2 是在「十位」上的 2 ，而后一个 2 则是在「个位」上。从结构的视角看， $22 = 2 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ ，即在以 $<10^1, 10^0>$ 为基的空间上的线性组合 / 坐标。

不要觉得这个问题很傻，罗马数字可就是「不区分位置」的逻辑哦：XXII = 10 + 10 + 1 + 1 。

为什么能用 0 ~ 9 表示任意数？

现在，我们只有 0 ~ 9 这十个符号。

第一步，我们可以约定一个顺序一一对应十以内的数。

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

那么十以上怎么办？

第二步，利旧。比如，要表示「四十二」可以这样：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

但是太麻烦。

第三步，引入第二个维度。

0: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
4: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
5: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

现在可以用坐标来表示一百以内的数了：四十二 = $<4, 2>$ 。

那一百以上怎么办？总不能接着增加维度吧？一千以内还好吧，立方体内的坐标，搞定。但一万以内的数咋办？四维坐标？

第四步，把二维压缩为一维。

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.

第五步，故伎重演：利旧。

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.

第六步，引入新维度：

0: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
1: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
2: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
3: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
4: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
5: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
6: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
7: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
8: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
9: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.

以此类推。这就是「为什么仅用十个字符就能表示无穷个数字」的原因。

而这个解释远比第一眼看到的深邃，∵它给出了一个数学演化推进的超 mini 模型：总是在已有的基础上前进一点点，最后推进至无远弗届。用项老的话说就是「逐步渐进，以简驭繁」。

为什么 314 比 214 大 100 ？

知道了上述结构，这个问题就迎刃而解了。观察 314 和 214 ，后两位一模一样，区别仅在于百位上的数字。即其他维度的坐标是相同的，仅百位这个维度的坐标从 2 跳到了 3 。而百位这个维度是以 $10^2$ 为基的。

练习：调整基得到不同的进制计数法

现在可以很自然地引出「加法」了

214 + 123 就是从 214 开始：

先在百位上跳一步，来到 314 ；
接着在十位上跳两步，来到 334 ；
再在个位上跳三步，来到 337 。

最牛逼的成语故事

之前读 @金观涛的《控制论与科学方法论》，知道了「曹冲称象」的本质是「共轭控制」😱。当时觉得，这可能是最有内涵的成语故事了。可之后听 @项武义讲「从算术到代数」，才知道：「韩信点兵」才是那个站在内涵链顶端的成语😱😱😱。强烈建议大家去听项老的讲课视频。

韩信事先算出一组基：

$\begin{align} 11 \times 13 \times 5 &= 715 = 7 \times 102 + 1 \\ 7 \times 13 \times 4 &= 364 = 11 \times 33 + 1 \\ 7 \times 11 \times 12 &= 924 = 13 \times 71 + 1 \end{align}$

以及 $7 \times 11 \times 13 = 1001$ 。现在就可以用 $r_1 \times 715 + r_2 \times 364 + r_3 \times 924 - 1001 k$ 到刘邦面前嘚瑟了😏。

假设韩信的部队在 2000 人上下，现在让 7 人一组剩 3 ，11 人一组剩 4 ，13 人一组剩 8 。那么 $<3, 4, 8> \quad \to \quad 3 \times 715 + 4 \times 364 + 8 \times 924 = 1,0093$ ，接着不断减 1001 找一个最接近 2000 的数就行（用项老的话说是「一个大将之才，误差超过 1001，那还做什么大将呢」🤣）。可为什么呢？

$\begin{align} 1,0093 &= 3 \times 715 + 4 \times 364 + 8 \times 924 \\ &= 3 \times (7 \times 102 + 1) + 4 \times (7 \times (13 \times 4)) + 8 \times (7 \times (11 \times 12)) \\ &= \textbf{7} \times (3 \times 102 + 4 \times 13 \times 4 + 8 \times 11 \times 12) + 3 \times 1 \end{align}$

$\begin{align} 1,0093 &= 3 \times 715 + 4 \times 364 + 8 \times 924 \\ &= 3 \times (11 \times (13 \times 5)) + 4 \times (11 \times 33 + 1) + 8 \times (11 \times (7 \times 12)) \\ &= \textbf{11} \times (3 \times 13 \times 5 + 4 \times 33 + 8 \times 7 \times 12) + 4 \times 1 \end{align}$

$\begin{align} 1,0093 &= 3 \times 715 + 4 \times 364 + 8 \times 924 \\ &= 3 \times (13 \times (11 \times 5)) + 4 \times (13 \times (7 \times 4)) + 8 \times (13 \times 71 + 1) \\ &= \textbf{13} \times (3 \times 11 \times 5 + 4 \times 7 \times 4 + 8 \times 71) + 8 \times 1 \end{align}$

想起读本科的时候，问过抽象代数老师一个问题：中国剩余定理 & Lagrange 插值定理之间有什么联系呢？现在想来，两者都是利用某组空间基底的线性组合，但本质居然是「分配律」😱。项老的眼光就是毒啊！

用结构的眼光看数数

为什么 22 ≠ 2 + 2 ？

为什么能用 0 ~ 9 表示任意数？

为什么 314 比 214 大 100 ？

练习：调整基得到不同的进制计数法

现在可以很自然地引出「加法」了

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