MNIST练习——Softmax&卷积网络

学习目标

• Softmax

• 卷积网络

Softmax

简介

Softmax回归模型应用在多分类问题中，通过样本的特征，给样本进行评分，从而对样本进行分类。

Softmax

假设训练集有m个样本构成: {(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾),...,(x^(m),y^(m))}
其中x^(m)表示样本的特征，y^(m)表示样本的类别。
对于输入的x^(m)，都用一个函数评估出它在每一个类别j的概率值p(y=j|x)。具体函数h_θ(x)形式如下(上标i漏括括号):

其中w₁,...,w_k与b₁,...,b_k为模型的参数。

主要用于归一化(上标i漏括括号)。

代价函数

方差代价函数

方差代价函数是常用的代价函数，其定义为：

其中y是标签，a是神经元的实际输出:

在模型的更新中，我们通常采用梯度下降来更新参数w和b，首先先计算偏导:


更新w、b：


因为sigmoid函数的性质，导致σ^’(z)在z取大部分值时会很小，这样导致w和b更新非常慢。

为了克服这个缺点，因此引入了交叉函数。下面先介绍几个相关的概念。

信息量

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为X，概率分布函数为p(x_i)=P(X=x_i),x_i∈X，我们定义事件X=x_i的信息量为：
I(x_i)=−log(p(x_i))，可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，而当p(x₀)=1时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。
举个例子，小明平时不爱学习，考试经常不及格，而小王是个勤奋学习的好学生，经常得满分，所以我们可以做如下假设：
事件A：小明考试及格，对应的概率P(x_A)=0.1，信息量为I(x_A)=−log(0.1)=3.3219
事件B：小王考试及格，对应的概率P(x_B)=0.999，信息量为I(x_B)=−log(0.999)=0.0014
可以看出，结果非常符合直观：小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的I值也较高。而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的I值也非常的低。

熵

那么什么又是熵呢？还是通过上边的例子来说明，假设小明的考试结果是一个0-1分布A只有两个取值{0：不及格，1：及格}，在某次考试结果公布前，小明的考试结果有多大的不确定度呢？你肯定会说：十有八九不及格！因为根据先验知识，小明及格的概率仅有0.1,90%的可能都是不及格的。怎么来度量这个不确定度？求期望！不错，我们对所有可能结果带来的额外信息量求取均值（期望），其结果不就能够衡量出小明考试成绩的不确定度了吗？
即：
H_A(x)=−[p(x_A)log(p(x_A))+(1−p(x_A))log(1−p(x_A))]=0.4690
对应小王的熵：
H_B(x)=−[p(x_B)log(p(x_B))+(1−p(x_B))log(1−p(x_B))]=0.0114
虽然小明考试结果的不确定性较低，毕竟十次有9次都不及格，但是也比不上小王（1000次考试只有一次才可能不及格，结果相当的确定）
我们再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是P(x_C)=0.5,即及格与否的概率是一样的，对应的熵：
H_C(x)=−[p(x_C)log(p(x_C))+(1−p(x_C))log(1−p(x_C))]=1
其熵为1，他的不确定性比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。
可以看出，熵其实是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。熵越大，变量的取值越不确定，反之就越确定。
对于一个随机变量X而言，它的所有可能取值的信息量的期望（E[I(x)]）就称为熵。
X的熵定义为：

如果p(x)是连续型随机变量的pdf，则熵定义为：

为了保证有效性，这里约定当p(x)→0时,有p(x)logp(x)→0
当X为0-1分布时，熵与概率p的关系如下图：

可以看出，当两种取值的可能性相等时，不确定度最大（此时没有任何先验知识），这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出，当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。
熵的单位随着公式中log运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

相对熵

相对熵(relative entropy)又称为KL散度（Kullback-Leibler divergence），KL距离，是两个随机分布间距离的度量。记为D_KL(p||q)。它度量当真实分布为p时，假设分布q的无效性。

并且为了保证连续性，做如下约定：

显然，当p=q时,两者之间的相对熵D_KL(p||q)=0
上式最后的H_p(q)表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而H(p)表示对真实分布p所需要的最小编码bit数。基于此，相对熵的意义就很明确了：D_KL(p||q)表示在真实分布为p的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。

交叉熵

交叉熵容易跟相对熵搞混，二者联系紧密，但又有所区别。假设有两个分布p，q，则它们在给定样本集上的交叉熵定义如下：

可以看出，交叉熵与上一节定义的相对熵仅相差了H(p),当p已知时，可以把H(p)看做一个常数，此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的，都反映了分布p，q的相似程度。最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在p=q时取得最小值H(p)（p=q时KL距离为0），因此有的工程文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法。
特别的，在logistic regression中，
p:真实样本分布，服从参数为p的0-1分布，即X∼B(1,p)
q:待估计的模型，服从参数为q的0-1分布，即X∼B(1,q)
两者的交叉熵为：

对所有样本取均值得：

我们可以看看它的导数


可以看到没有h^'_θ(x)这一项，权重的更新受h_θ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾的影响，即受误差的影响。所以当误差大的时候，权重更新就快。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。

权重衰减

代码实现

# coding:utf-8
# 导入tensorflow。
# 这句import tensorflow as tf是导入TensorFlow约定俗成的做法，请大家记住。
import tensorflow as tf
# 导入MNIST教学的模块
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
# 与之前一样，读入MNIST数据
mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=True)

# 创建x，x是一个占位符（placeholder），代表待识别的图片
x = tf.placeholder(tf.float32, [None, 784])

# W是Softmax模型的参数，将一个784维的输入转换为一个10维的输出
# 在TensorFlow中，变量的参数用tf.Variable表示
W = tf.Variable(tf.zeros([784, 10]))
# b是又一个Softmax模型的参数，我们一般叫做“偏置项”（bias）。
b = tf.Variable(tf.zeros([10]))

# y=softmax(Wx + b)，y表示模型的输出
y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x, W) + b)

# y_是实际的图像标签，同样以占位符表示。
y_ = tf.placeholder(tf.float32, [None, 10])

# 至此，我们得到了两个重要的Tensor：y和y_。
# y是模型的输出，y_是实际的图像标签，不要忘了y_是独热表示的
# 下面我们就会根据y和y_构造损失

# 根据y, y_构造交叉熵损失
cross_entropy = tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y_ * tf.log(y)))

# 有了损失，我们就可以用随机梯度下降针对模型的参数（W和b）进行优化
train_step = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy)

# 创建一个Session。只有在Session中才能运行优化步骤train_step。
sess = tf.InteractiveSession()
# 运行之前必须要初始化所有变量，分配内存。
tf.global_variables_initializer().run()
print('start training...')

# 进行1000步梯度下降
for _ in range(1000):
    # 在mnist.train中取100个训练数据
    # batch_xs是形状为(100, 784)的图像数据，batch_ys是形如(100, 10)的实际标签
    # batch_xs, batch_ys对应着两个占位符x和y_
    batch_xs, batch_ys = mnist.train.next_batch(100)
    # 在Session中运行train_step，运行时要传入占位符的值
    sess.run(train_step, feed_dict={x: batch_xs, y_: batch_ys})

# 正确的预测结果
correct_prediction = tf.equal(tf.argmax(y, 1), tf.argmax(y_, 1))
# 计算预测准确率，它们都是Tensor
accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, tf.float32))
# 在Session中运行Tensor可以得到Tensor的值
# 这里是获取最终模型的正确率
print(sess.run(accuracy, feed_dict={x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels}))  # 0.9185

卷积网络