集合
元素与集合的关系：
元素属于集合
a∈A : a 属于 A
a∉A : a 不属于 A
集合的特性：
集合中的元素必须是确定的，确定性
集合中的元素是不重复出现的，互异性
集合中的元素是没有顺序的，无序性
只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的
集合的分类：
有限集 无限集 空集
N: 自然数集(含 0)
N+或N*：正整数集（不含0）
Z: 整数集
Q: 有理数集
R: 实数集
集合的表示方法：
列举法： {1, 2, 3}
描述法：{描述的对象 | 对象的特征}
例如 {x∈R | 1<x<5} {x | x > 1} x∈R 可以省略为 x
例题：x^2 - 2 = 0 的所有实数根做成的集合
例举法：{厂2, -厂2}
描述法：{x∈R | x^2-2=0}
集合之间的基本关系：
A = B
A ⊆ B
A 是 B 的真子集
∅ 是任何集合的子集
∅ 是任何非空集合的真子集
任何一个集合是它本身的子集
如果 A ⊆ B 并且 B ⊆ C，则 A ⊆ C
集合运算：
并集：A∪B <=> {x | x∈A 或 x∈B}
交集：A∩B <=> {x | x∈A 且 x∈B}
全集：U
补集：CuA 由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A的补集
CuA = {x | x∈U 且 x ∉ A}
集合元素的个数：card(A) = 2
card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)
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充分条件与必要条件
若 p 则 q 为真，记作 p => q
若 p 则 q 为假，记作 p /=> q
如果 p => q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
充分条件的特征：当 p 成立时，必有 q 成立
必要条件的特征：当 q 不成立时，必有 p 不成立
例如：a = 0 => ab = 0
a = 0 是 ab = 0 的充分条件 (理解为 a = 0 这个条件足以证明 ab = 0)
ab = 0 是 a = 0 的必要条件 (理解为要想 a = 0，ab 必须为 0)
如果 p => q 且 q => p，则记作 p <=> q，p 是 q 的充分且必要条件，简称充要条件
若 p => q 且 q /=> p，则p是q的充分不必要条件
若 p /=> q 且 q => p，则p是q的必要不充分条件
若 p/=>q 且 q/=> p，则p是q的既不充分也不必要条件
全称量词：所有，任意
全称命题 ∀x∈M，p(x) 读作：M 集合中的所有的 x，或者 M 集合中的任意的x，或者任取x属于M，都有 p(x)成立
例1：∀x∈R, x^2+1>=1 真命题
例2：对每一个无理数x, x^2 也是无理数 假命题
存在量词：存在，至少
存在命题 ∃x∈M，p(x) 读作：M 集合中存在一个x，或者 M 集合中至少有一个x，使得 p(x) 成立
全称命题的否定是存在命题：
∀x∈M, p(x) 它的否定是 ∃x∈M, ￢p(x)
存在命题的否定是全称命题：
∃x∈M, p(x) 它的否定是 ∀x∈M, ￢p(x)
任何命题 p 均有否定 ￢p
p 与 ￢p 必定是一真一假
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不等式：
作差比较法：
若 a - b > 0 则 a > b
若 a - b < 0 则 a < b
若 a - b = 0 则 a = b
不等式的性质：
对称性：a>b <=> b<a
传递性：a>b, b>c => a>c
可加性：a>b <=> a+c > b+c
可乘性：a>b, c>0 => ac > bc
a>b, c<0 => ac < bc
叠加性：a>b, c>d => a+c > b+d
叠乘性：a>b>0, c>d>0 => ac > bd
乘方性：a>b>0, n∈N+ => a^n > b^n
开方性：a>b>0, n∈N+, n>=2 => n√a > n√b
倒数性质：a>b, ab>0 => 1/a < 1/b
重要不等式(当且仅当a=b时候，等号成立)：
a^2 + b^2 >= 2ab
a + b >= 2√ab
a+b / 2 >= √ab (a>0, b>0) 两个正数的算数平均数 >= 几何平均数
和定，积有最大值：ab <= (a+b / 2)^2
积定，和有最小值：a+b >= 2√ab
取 a + b 的最小值：
1正(a b 都是正数) 2定( a*b 是定值) 3相等(a=b 时候最小)
解一元二次不等式的步骤为：
- 将二次项系数化为正数(开口向上的抛物线)
- 判断相应方程是否有根 △ = b^2-4ac >= 0 (如果可以直接分解因式，证明有根，可以省去这步)
- 根据根的情况写出相应的解集
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