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十二平均律

十二平均律

作者: 浪非花 | 来源:发表于2019-08-22 12:06 被阅读0次

    声音物理特性

    • 发声体(声带、各种乐器等)发生特定的振动,包括了发声体内部的空气的振动。这种振动有时会呈现出一定的规律性,比如形成音乐的振动一般具有固定的振动频率
    • 震动的发声体带动了其表面的空气,使空气也产生了与发声体振动方式相似的振动。这种振动,在空气中会以纵波的形式向远离发声体的方向传播。同事,发声体内部如果与外部连通的话,其内部的空气振动也会从开口处(比如喇叭口)传播到外部。这种在空气中传播的振动,被称为声波。
    • 从发声体处产生的声波,通过空气向远处传播(中间往往会发生一定的反射和折射等),最终进入人的耳朵,带动听觉器官(耳膜和听小骨)发生相似的振动
    • 听觉器官将本身的振动转化为神经信号,传递到人的大脑的听觉中枢。听觉中枢对神经信号进行解析,最终形成了人听到的声音

    音高的概念

    • 指各种高低不同的声音,即音的高度,音的基本特征之一。音的高低是有振动频率决定的,两者成正比相关关系:频率(即单位时间内振动的次数)高则音高,反之则低
    • 人耳对声音调子的高低的主管感觉。主要取决于频率的高低与响度的大小。频率低的调子个人以低沉、厚实、粗狂的感觉;频率高的调子给人以亮丽、明亮、尖刻的感觉。
    • 钢琴键盘上,自左向右,琴键对应的音的频率逐渐提高,音高也逐渐提高

    八度音

    • 现代生物学研究表明,人耳的敏感程度与声音频率大致呈指数关系。例如:对人类的听觉来说,220Hz到440Hz之间的差距与440Hz到880Hz之间大致相同。所以我们可以给它们相同的音名。比如C,然后划分为不同的音域。虽然古人不懂物理和生物,但是和他们还是不约而同地根据经验发现了这个现象。每当声音的频率翻倍,我们就记它为一个单位--西方叫“八度”,东方叫“均”
    • 八度分割
    • 假设两个音的频率分别为220Hz和440Hz,分割音程就在这两个数之间插入若干个其他频率的音
    • 决定音程的是频率的比值,因此最重要的参考量就是相邻的两个音的频率比值
    • 不同的音都是“平等”的,这种分割应该是“平均”的,name,相邻的两个音的频率比值应该是统一的
    • 以下用数学手段来描述这种分割。
      假设将八度音程“均匀”分割为n份,相邻的两个音的频率比值为k,那么:

    220Hz \times \underbrace{k_1\times\dots\times k_n}_{\text{共n个}}=440Hz

    k与n的关系也可以表示为:

    k^{n} = 2

    或者:

    2^{\frac{1}{2}} = k

    事实上,在人类发展出的音乐体系中,n
    n 的选值是唯一的,那就是 12 。这是一个“冥冥中注定的数字”

    • 我们在卡拉OK唱歌时,男生唱女生的歌通常会降低八度来唱,而女生唱男生的歌通常会升高八度来唱。虽然有时听起来会有点怪,但这样演唱可以保证与伴奏一致。之所以会这样,正式由于相隔八度的音,其内部存在本质的联系,使它们听起来十分相似。

    十二平均律分割原理

    振动的弦.jpg
    • 人类的听力范围大约是20~20000Hz。低于这个频率的成为次声波,高于它的成为超声波。日常生活中的声音通常由许多不同频率的波叠加而成,单一频率的简谐波会给人刺耳的感觉。这是人耳在进化中适应环境的结果,因为自然界的物体在振动发生时,除“基音”外通常都伴有一系列“泛音”。例如,拨动一根两端固定的弦,它可以按下图所示的各种方式振动。最上方的振动频率称为弦的本征频率,下方的频率依次是它的N倍。弦的本征频率与弦的长度和张力有关,大部分弦乐器都是通过调节二者来进行校准。弦在实际振动时,是上图中的各种振动方式并存的,本征频率对应着基音,而其他频率对应着泛音。它们按不同的比例叠加,这个比例决决定了乐器的银色。比如,音高同为中央C,钢琴发出的声音和小提琴发出的就有明显的不同,因为他们的泛音比例不同。

    • 由于自然界中声音的这个特点,人耳会自动整合基音和泛音,让它们听起来像一个纯音。反过来说,听觉中的一个纯音事实上由频率为f的基音和一系列频率为2f、3f...的泛音组成。人们发现,两个纯音的基音频率之比若为简单的整数比,则它们听起来是和谐的,因为此时它们共享许多的泛音。音律就是基于这个原理派生音阶的。选定一个基础频率f,比如现在通用的国际标准是440Hz的A音、然后它的2倍频率就是#A,4倍频率就是##A;它的二分之一频率是bA,四分之一频率是bbA等,这样就派生出所有的A音。相邻两个A音之间的频率之比都是2:1,音律中称之为一个八度。相差一个八度的两个音亮起来很相似,因此以一个八度作为音阶的周期。

    • 进一步,我们只需派生出一个周期中的其他音阶就可以通过2:1的比例关系派生出所有周期内的其他音阶。考虑除了2:1之外,最简单的整数比就是3:2。事实上,早在春秋时期先贤们就发明了“三分损益法”,它就是根据这个比例进行生律。具体来说,即从当前频率f开始,进行如下步骤:

      • 1.记录当前频率,然后乘以3/2
      • 2.结果小于2f,则转到1;
        若大于2f,除以2再转到1;
        若大于2f,结束。
        这样可以记录下f和2f之间的一些列频率。然而,由于2和3是互质的,不存在两个证书m、k使得(3/2)^{m} = 2^{k},程序永远不结束,我们得到的f和2f之间有无穷多个频率。这远远超出了音乐的需要,因为人耳能分辨的频率差异的有限的。因此,我们希望找到互质的证书m、k使得2^{k/m}足够接近3/2。这等价于寻找 (\ln 3 - \ln 2 )/ \ln2 \approx 0.5849625 (记为X)的一个合适的有理数逼近。而且不难看出,的那我们用2^ {k/m}代替3/2进行上面的程序时,结束前我们总共找到m个频率。因此,为了使音律尽量简洁,当逼近误差相同时,m越小越好。我们的这种需求,在数学中被称为最佳有理数逼近问题,而连分数展开”恰是这个问题的答案。
    • 分连数展开
      对任意的一个数a, 如下程序的输出称为a的连分数展开:

      • 1.去b为不大于啊的最大整数,并输出b;
      • 2.若a - b > 0,则取新的a等于 a - b 的倒数,然后转到步骤1;
        若 a - b = 0,则结束。
        注意,当a为无理数时,程序不会结束。即无理数的连分数展开是一个无穷整数列,例如圆周率π的连分数展开为[3,7,15,1,292,1,1...]。

    它对应着π的一系列有理逼近。第一次近似是3,然后是 3 + 1 / 7 = 22 / 7 ,即祖冲之当年发现的“约率”;第三次近似是 3 + 1 / (7 + 1 / 15) = 355 / 113,即祖冲之的“密率”。我们可以继续计算下去,得到误差越来越小的逼近。连分数后展开之说以成为最佳有理数后逼近,是因为通过它得到的每一次近似,都适合当前精确度最高的。即比带有更小分母的任何有理数都更接近a。

    下面我们就用计算连分数的方法来寻找X的一个核实好好的有理逼近。输入X后的输出为[0,1,1,2,2,4,...]。它对应的第三至第六次近似数分别是1/2,3/5,7/12,31/53。最后一个分母53显然太大了,很难想象在一个八度内就有53个音阶的“魔鬼”音律;而前面两个的误差又太大了,因此我们选取 7 /12 \approx 0.58333 作为 X \approx 0.5849625 的近似,这样的误差人类基本上听不出来。于是,在一个八度中我们派生出12个音阶,而且相邻两个音阶的频率之比固定不变。这就是现在音乐中被广泛使用高度十二平均律

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