基础

1.为什么要知识库

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C_m^n = C_{m-1}^{n-1} + C_{m-1}^n

C_m^n=\frac{P_m^n}{n!}=\frac{m!}{(m-n)!n!}

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• 提高团队协作效率
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组合分析

C_m^n = C_{m-1}^{n-1} + C_{m-1}^n

C_m^n=\frac{P_m^n}{n!}=\frac{m!}{(m-n)!n!}

• 二项式定理

(X+Y)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kX^kY^{n-k}

一个n个元素的集合一共有多少个子集：相当于把每个元素都标上0和1，则一共有2*2*2.....2,n个2的组合(包含空集)

\sum_{k=0}^nC_n^k = (1+1)^n=2^n

• 多项式的系数
  
  把n个不同的元素分成r组，每组分别有

n_1,n_2,...n_r 

个元素，其中：

\sum_{i=1}^rn_i = n

一共有多少种分法？

C_n^{n_1}C_{n-n_1}^{n_2}C_{n-n_1-n2}^{n_3}....C_{n-n_1-n_2-...-n_r}^{n_r} 
=\frac{n!}{n_1!n_2!....n_r!}

= C_n^{n_1,n_2,n_3...n_r}

• 例子
  某个警察局有10个警察，其中5名警察需要去巡逻，2名警察需要值班，3名待命，问把10名警察分成3组有多少种不同的分法？

\frac{10!}{5!2!3!} = 2530

• 多项式定理

(x_1+x_2+...+x_r)^n = \sum_{(n_1...n_r):n_1+n_2+..+n_r=n}C_n^{n_1,n2,...,n_r}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_r^{n_r}

上式的求和号是对满足n1+n2+...+nr=n的所有非负整数向量(n1,n2....n2)求和。

C_n^{n_1,n2,...,n_r}

称为多项式系数。

*例子：

在第一轮淘汰赛中有n=2^m名选手，这n名选手被分为n/2组，每组都要互相比赛，每一场比赛的败者都要被淘汰而胜者晋升下一轮，这个过程持续到只有一名选手留下。假设我们有一场比赛，其中有8名选手。
1、第一轮有多少种可能的结果(如一种结果1赢了2，3赢了4，5赢了6，7赢了8)
2、这场淘汰赛有多少种可能的结果

解一：

8名选手分成无差别的4组，分法：

\frac{8!}{2^4*4!}