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函数的性质

函数的性质

作者: liuwei89757 | 来源:发表于2019-03-26 23:47 被阅读0次

单调性

设函数 f(x) 的定义域为 D_f，区间 I \subseteq D_f，如果对于区间 I 上的任意两点 x_1, x_2，当 x_1 < x_2 时 ：

恒有 f(x_1) \le f(x_2)，则称函数 f(x) 在区间 I 上单调递增。

当不等式 f(x_1) < f(x_2) 成立，则 函数f(x) 在 I 上严格单调递增。

相反的：

当恒有 f(x_1) \ge f(x_2)，称函数 f(x) 在区间 I 上单调递减。

当不等式 f(x_1) > f(x_2) 成立，称函数 f(x) 在区间 I 上严格单调递减。

有界性

函数: f(x)

定义域：D_f

区间：I \subseteq D_f

\forall \ x \in I ，\exists \ K ，s.t. \ f(x) \le K ，称函数 f(x) 在 I 上是有上界的 。

\forall \ x \in I，\exists \ K，s.t. \ f(x) \ge K，称函数 f(x) 在 I 上是有下界的。

\forall \ x \in I，\exists \ K_1、K_2，s.t. \ K_1 \le f(x) \le K_2 ，称函数 f(x) 在 I 上是有界的。

\forall \ M \in R^+，\exists \ x \in I，s.t. \ |f(x)|>M，称函数 f(x) 在 I 上 是无界的。

奇偶性

设函数 f(x) 的定义域 D_f 关于原点对称，对于任意 x \in D_f :

若 f(x) = f(-x)，则 f(x) 为偶函数。

若 f(x) = -f(-x)，则 f(x) 为奇函数。

只有当函数的定义域关于原点对称时，我们才能去判断函数的奇偶性。

奇偶性判定方法：

函数 奇偶性
奇函数 + 奇函数 奇函数
偶函数+偶函数 偶函数
偶数个奇函数（偶函数）之积 偶函数
奇数个奇函数之积 奇函数
1 个奇函数 * 1 个偶函数 奇函数
f(x) + f(-x) = 0 奇函数
定义域不关于原点对称 非奇非偶函数

周期性

函数：f(x)

定义域：D_f

定义：\exists \ T \in R^+，s.t. \ f(x+T) = f(x) 恒成立，则称 f(x) 为周期函数，满足条件的最小整数 T 为函数的（最小正）周期。

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