动态规划 背包问题

1.问题描述

有n个物体有重量和价值两个属性，一个能承重一定重量的背包。问怎么选择物体能实现背包里的价值最大化。

2.问题具体化

假设有5个物体和一个背包。物体的重量分别是2、2、6、5、4，即w[]={0、2、2、6、5、4}，价值分别是6、3、5、4、6，即v[]={0、6、3、5、4、6}。背包承重为10。问怎么选择，能实现背包所背物体价值的最大化。

3. 解决过程

利用二维表格，通过自左向右、自下向上的计算，来绘制表格，左后再在表格的基础上选择最优解。

• 3.1表格最后一行

对最后一行的物体4来说，只有两种情况，要么装入背包，要么不装入。物体5的的重量是4。也就是说在背包承重为0--3的时候物体5是装不进去的，所以背包为0，当背包承重为4--10的时候，物体5可以装进去，又因为物体5的价值为6，所以背包价值为6。

|.|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|--
|1
|2
|3
|4|
|5|0|0|0|0|6|6|6|6|6|6|6|

• 3.2表格倒数第二行

  表格倒数第二行的计算思路与倒数第一不一样，因为我们要考虑背包里已经有的物体。因为物体4的重量为5。所以在背包承重为0--4的情况下即使空包也装不进去，所以不能装入，包里原本是多少价值，就还是多少价值。在背包承重为5--8的时候，物体4可以装进去，但是物体5要拿出来才行，这样的话背包的价值就变成4了，小于6。所以能然选择不把物体4放进去。在背包承重为9--10的时候，两个都可以放进去，所以背包的价值变成10了。

|.|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|--
|1
|2
|3
|4|0|0|0|0|6|6|6|6|6|10|10|
|5|0|0|0|0|6|6|6|6|6|6|6|

• 3.3最终计算出来的表格

其他行的计算过程同上，最终结果如下。

|.|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|--
|1|0|0|6|6|9|9|12|12|15|15|15|
|2|0|0|3|3|6|6|9|9|9|10|11|
|3|0|0|0|0|6|6|6|6|6|10|11|
|4|0|0|0|0|6|6|6|6|6|10|10|
|5|0|0|0|0|6|6|6|6|6|6|6|

• 3.4表格计算公式

max( m(i+1,j) , m(i+1,j-wi)+vi )

• 3.5做出最优选择

大体思想：我们从右上角（坐标（1,10））开始，看（1,10）与（2,10）的值是不是一样，一样，则说明物体1没装进去，不一样，则说明物体1装进去了。
void opt_way(int flag[],int w[], int table[num][weight])
{
int n = weight-1;
for (size_t i = 0; i < num; i++)
{
if (table[i][n]==table[i+1][n])
{
flag[i] = 0;
}
else
{
flag[i] = 1;
n = n - w[i+1];
}
}
}

---

4.完整代码

#include <iostream>
#define num 5
#define weight  11
using namespace std;

void init_table(int table[num][weight])
{
    for (size_t i = 0; i < num; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < weight; j++)
        {
            table[i][j] = 0;
        }
    }

}
void show_table(int table[num][weight])
{
    for (size_t i = 0; i < num; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < weight; j++)
        {
            cout <<table[i][j] << "\t";
        }
        cout << "\n";
    }

}
void creat_table(int table[num][weight],int w[],int v[])
{
    //给最后一行赋初值
    for (size_t i = 0; i < weight; i++)
    {
        if (w[num] > i)
            table[num - 1][i] = 0;
        else
        {
            table[num - 1][i] = v[num];
        }
    }
    //在最后一行基础上给每行赋值
    for (int i = num - 1; i > 0; i--)
    {
        for (int j = 0; j < weight; j++)
        {
            if (w[i]>j)
            {
                table[i - 1][j] = table[i][j];
            }
            else if ((v[i] + table[i][j-w[i]])>table[i][j])
            {
                table[i-1][j] = v[i] + table[i ][j - w[i]];
            }
            else
            {
                table[i-1][j] = table[i][j];
            }
        }
    }

}



void opt_way(int flag[],int w[], int table[num][weight])
{
    int n = weight-1;
    for (size_t i = 0; i < num; i++)
    {
        if (table[i][n]==table[i+1][n])
        {
            flag[i] = 0;
        }
        else
        {
            flag[i] = 1;
            n = n - w[i+1];
        }
    }

}
int main()
{
    int w[num+1] = {0,2,2,6,5,4};
    int  v[num+1]= {0,6,3,5,4,6};
    int flag[num] = { 0, 0, 0, 0, 0 };
    int table[num][weight];
    init_table(table);
    creat_table(table,w,v);
    opt_way(flag,w,table);
    //----------------
    show_table(table);
    //------------------------------
    for (size_t i = 0; i < num; i++)
    {
        cout << flag[i];
    }
    getchar();
    return 0;
}

5.程序结果截图

11001是最优的选择