二项分布到泊松分布的证明

作者: 热爱生活的大川 | 来源:发表于2020-09-11 18:36 被阅读0次

在某一固定时段 $t$ 内，事件发生 $n$ 次，即事件 $X$ 的期望值 $\lambda=np$ 已知。将该时段无限细分，每一个 $dt$ 内都看做一个0-1事件，则在时段 $t$ 内，其发生k次的概率为
$\begin{aligned} N_k & = \lim_{n\to\infty}C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{-\lambda\frac{n}{-\lambda}}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \\ & = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ \end{aligned}$

比如，一个医院一天出生8个婴儿，那一天出生k个婴儿的概率是多少？
首先，一天看做86400秒，即 $n=86400$ ，每秒都是一个是否有婴儿出生的0-1事件，则 $8=86400*p$ ，即每秒概率为 $p=\frac{8}{86400}$ ，从而，通过 $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ 可得每天出生k个婴儿的概率；
其次，因为n足够大，可直接使用泊松分布， $\lambda=8$ ，通过 $\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ 可得每天出生k个婴儿的概率。