代数系统

代数系统的实例和一般性质

定义

• 代数系统: X是一个非空的集合, Θ = {·, *, ×, ○, ...}是定义在X上的非空的运算集合, <X, Θ>叫做代数系统;
• n目运算: fx(x[1], x[2], ..., x[n]) = y是n目运算, 注意别把y算进去;
  • 0目运算: 指单位元0或1;

时钟系统, 生成元

举例子: 定义一个一目运算clock,
clock(k) =
k+1, k!=m
1 , k==m
我们从元1开始, 可以导出所有M中的元, 只要不断使用clock运算就可以了. 后面我们会看到, 在群那里, 我们提出了生成元的概念, 其实就是这个东西;

模4, 一个重要的案例

[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}
[1] = {...,-7,-3, 1, 5, 9, ..}
[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ..}
[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ..}

定义模4加法+运算为 [i] + [j] = [i+j]

于是<Z4, +>构成了一个代数系统, 满足了结合律, 有单位元[0], 分配率, 事实上已经是一个群, 甚至还满足了交换律, 构成阿贝尔交换群

启示: 代数系统是一个广泛的概念, 集合S不仅仅可以只是拥有数字这样的元素, 也可以是同余类这样的等价类, 我们还可以将对象之间的关系定义成运算, 从而进行数学建模, 是研究问题的最基本方法.

同态和同构

同态

• 定义: <A, ·>和<B, >, ·和都是二目运算, 如果有映射g: A->B, 使得对于任何x, y属于A集合, 有g(x · y) = g(x) * g(y), 那么我们说g是前者代数系统到后者的一个同态映射, <B, >被称为<A, ·>的同态像*;
• 简单点说, 就是先运算后映射 等于 先映射后运算, 那么就是同态

同构

• 定义: 满足同态的映射g, 如果还是双射的, 也就是说两个代数系统互相都是对方的同态像, 那么就是两个系统是同构的.

同余关系

• 同余关系: 设<Z, >为一个代数系统, ~是Z上的一个等价关系, 如果存在a, b, c, d∈Z, <a, b>, <c, d>都属于~, 也就是说aRb, cRd, 那么<ac, bd>将仍然属于~, 也就是ac R b*d; 此时~可以被叫做同余关系;
• 实例化: 模4为例子, <1, 5>∈R, <2, 6>∈R, 因为前者都是[1]成员, 后者都是[2]成员, 那么<3, 11>∈R, 因为该序偶内部左元右元都是是[3]成员 ( [1] + [2] = [3] );
• 另外一个定义, 如果等价关系~, 如aRb在经过运算*后仍能保存, 那么这个等价关系就是同余关系;
• 性质: 如果存在同态映射g: <Z, *>-><Y, ·>能使得a~b且g(a) = g(b), 则~是<Z, *>上的同余关系;
• 证明: 假设a~b, 且c~d, 所以g(a) = g(b), 且g(c) = g(d), -------条件(1)
  因为是同态映射, 所以g(ac) = g(a)·g(c), g(bd) = g(b)·g(d); -------条件(2)
  那么因为条件(1), 所以条件(2) => g(ac) = g(bd) ==> ac ~ bd
  也就是说~等价关系在*运算后在代数系统中仍然保持, 它是同余关系;