一：坐标系

1.笛卡尔坐标系

2D坐标系都是‘’等价‘’的，无论原点在哪里，我们都可以通过平移将两个坐标系重合

3D坐标系则存在左手坐标系和右手坐标系的区别，两者通过平移无法完全重合，大拇指为X+， 为食指为Y+，中指为Z+，左右手可以分别描述左手坐标系和右手坐标系

2.常见的坐标系

（1）世界坐标系：描述所有物体的绝对位置的坐标系，即把所有的坐标统一到一个大的坐标系中

（2）物体坐标系：每个物体独立的坐标系，每个物体内部的部件用此坐标系计算简单直观

（3）摄像机坐标系：以摄像机位置为原点的坐标系，可以用来统一物体在摄像机空间下的计算

二：向量

1.表示

（1）向量表示方向，标量表示大小

（2）向量和点结合可以表示特定的位置，即通过将点沿向量方向平移确定位置

（3）一些特殊向量

0向量，各个分量都为0的向量，没有任何方向

2.向量的运算

（1）加减法

将向量的每个分量分别相加或者相减

几何解释，a+b表示将a，b向量首位相连得到的新向量

（2）乘法

点乘（内积）：等于对应分量乘积的和，还等于向量大小相乘再乘以夹角的cos值，即结果是一个标量，描述了两个向量的相似程度，结果越大两个向量越接近

叉乘（外积）：[x1,y1,z1]*[x2,y2,z2] = [y1z2-y2z1, z1x2-x1z2, x1y2-x2y1],叉乘的优先级高于点乘，运算结果仍然是一个向量，而且这个向量垂直于两个向量所在的平面,由此延伸，如果a，b两个向量互相垂直，那么和叉乘的结果组成的三个向量互相垂直，可以作为一组三维坐标

叉乘的方向确定：右手定则，aXb,四指从a到b，大拇指所指的方向就是结果向量的方向

叉乘的结果的大小：aXb = |a|*|b|*sinA，正好是以a，b向量为边的平行四边形的面积

（3）向量乘以标量等于把向量的每个分量分别乘以这个标量

（4）向量的模a(x,y)=sqrt(x*x+y*y),标准化（normalize）即用向量除以他的模

（5）自己实现向量类（实践）

三：矩阵

（1）概述：一个有r行c列的矩阵，可以这样理解，向量是标量的数组，而矩阵是向量的数组

（2）方阵：行数=列数的矩阵称作方阵，对角元素指的是行号和列号相同的元素，如果所有非对角元素都是0，那么则成为对角矩阵，单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，对角元素均为1的对角矩阵是单位矩阵

（3）向量作为矩阵表示：1*n矩阵称为行向量，n*1称为列矩阵，可以说向量是一种特殊的矩阵

（4）矩阵的转置：将矩阵沿着对角线反折，转置可以使行向量变成列向量；特性：任意矩阵的转置的转置等于本身，任意对角矩阵的转置等于本身

（5）标量和矩阵相乘：用标量分别乘以矩阵中的每个元素

（6）矩阵乘法：

前提是a的列数等于b的行数，如果不匹配没有意义，

排列乘法，

不满足交换律（行列数可能都不匹配），

向量和矩阵相乘，等同于矩阵乘法，行向量左乘（行向量在左乘以一个矩阵）结果是行向量，列向量右乘矩阵结果是列向量；由此可以看到，向量标识三维中的点的话，可以通过矩阵对其进行变换，而保证得到的结果仍然是三维空间中的点

（7）矩阵的几何解释

几种变换：旋转，缩放，投影，镜像，仿射

四：矩阵和线性变换

（1）变换物体和坐标系

（2）旋转

（3）缩放

（4）正交投影和透视投影：前者的投影线相互垂直，后者投影线会相交

（5）镜像：沿任意轴的翻转

（6）切变：非均匀拉伸，X = X + sY，Y = Y

（7）组合变换：模型空间->世界空间->摄像机空间,三个矩阵通过矩阵乘法的结合律可以合并成一个矩阵

（8）变换的分类：

1.线性变换：F(a+b) = F(a)+F(b)

2.仿射变换：仿射变换指的是线性变换后接着平移，即任何线性变换都是仿射变换，但不是所有仿射变换都是线性变换

3.可逆变换：变幻的矩阵具有可逆矩阵，即矩阵是可逆的，则这个变换是可逆变换

4.等角变换：变换前后两个向量的大小和方向都不改变

5.正交变换：轴垂直不进行缩放变换

6.刚体变换：只改变物体的位置和方向，不包括长度，角度，面积，体积

（9）矩阵的行列式

1.行列式：右下-左上

2.矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积|AB| = |A||B|;

3.矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式

4.矩阵的任意行或者列为0，那么他的行列式为0

5.交换矩阵的任意两行或者两列，行列式变为负

6.行列式的几何解释，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积

（10）矩阵的逆

1.矩阵的逆乘以矩阵结果是单位矩阵

2.单位矩阵的逆是他本身

3.矩阵转置的逆等于他逆的转置

4.矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积

5.用途，进行逆变换或者撤销原变换

（11）正交矩阵

1.矩阵乘以他的转置矩阵等于单位矩阵，即矩阵的转置矩阵等于他的逆矩阵，这样可以在计算时通过直接用逆矩阵代替转置矩阵来简化计算

2.若一个矩阵是正交的那么它应该满足：矩阵的每一行都是单位向量，矩阵的所有行互相垂直

（12）4*4齐次矩阵

3*3矩阵表示的是线性变换，不包含平移，4*4矩阵能表示平移，4D中w分量能够开关4*4矩阵的平移部分

五：方位和角位移

1.矩阵形式

优点：1.可以立即对向量进行旋转

           2.矩阵的形式被api利用，也就是矩阵可以直接拿来计算，而其他的形式则要转化成矩阵

           3.多个角位移连接直接将矩阵连接

           4.矩阵的逆，因为旋转矩阵是正交的，所以求逆只是求转置，简化计算

缺点：1.内存占用大，一个矩阵需要保存16个浮点数

           2.不直观，直接观察一个矩阵并不能知道他进行了什么角度变换

           3.矩阵可能是病态的，矩阵中的元素并不一定都是有用的

2.欧拉角

欧拉角是将角位移分解为绕三个互相垂直轴的三个旋转序列（万向锁是一个底层问题，至今没有解决方案）

优点：1.对于我们来说很直观，很容易使用

           2.表达简洁，占用内存小

           3.任意三个数都是合法的

缺点：1.给定方位的表达方式不唯一

           2.两个角度求插值非常困难（0和360,720都是一个角度）

3.四元数

一个标量+一个3D向量分量

Quaternion camPosRotation = Quaternion.Euler(rotY, rotX, 0);，将一个三维的rotation转化成一个四元数，

_CameraTrans.position = camPosRotation * PcCameraDis然后左乘一个三维的向量 可以实现对三维向量的旋转，而三维的rotation是不能直接相乘进行旋转的。

优点：1.平滑插值，其他方法不容易平滑插值

           2.快速连接和角位移求逆，四元数叉乘能将角位移序列转换为单个角位移

           3.能和矩阵形式快速转换

           4.仅用四个数表示，比较高效

缺点：1.比欧拉角稍微大一点

           2.四元数可能不合法（可以通过标准化四元数来解决）

           3.难以使用

4.各方法比较

1.欧拉角最容易使用和被人使用

2.如果在坐标系之间转换向量，选择矩阵形式

3.需要大量保存数据时使用四元数或者欧拉角，节省内存占用

4.平滑的插值只能使用四元数来完成，如果用其他形式则需要先转换到四元数