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知乎专栏：无痛的机器学习第一季
神经元与神经网络
说到神经网络，我们第一个概念就是在高中生物学习到的神经元（neuro）的概念，神经元从树突接收到刺激信号，经过神经元的传导，再通过轴突将信号传递下去，我们将神经元的数据模型通过图片的形式展现出来：
神经元的数据模型
类比于上述的神经元数据模型，下面我们给出一个最基本的神经网络（SNN）：
SNN
在吴恩达的课程中，神经网络分为浅层神经网络和深层神经网络
一个神经元被称为logistic回归。
隐层（hidden layer）较少的被称为浅层，而隐层较多的被称为深层。
基本上是层次越深越好，但是带来的计算成本都会增加，有时候不知道个该用多少的时候，就从logistic回归开始，一层一层增加。
此外，神经网络还有卷积神经网络（CNN）与循环神经网络（RNN）。
CNN
刚才所说的只是大体上对神经网络的介绍，现在我们来研究一下神经网络具体模型。
神经网络的简单模型
上文说到一个神经元就是一个logistic回归，那我们先来介绍一下logistic回归：
logistic回归是一种广义上的线性回归，因此与多重线性回归分析有很多相同之处，它们的模型形式基本上相同，都具有z=w‘x+b。其中x是我们给出的数据，它可以是一个数，也可以是一个n维向量，w与b是我们的待求量。而logistic回归中通过函数L将z对应一个隐状态p，p =L(z),然后根据p 与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归。
其中logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。
在了解了logistics回归之后我们来继续研究神经网络，我们采用的数据是二分类的，所以我们可以把它描述为（x,y），其中x是一个n维向量，y是0或1。
之后我们就要对输入信号进行处理，信号处理函数分为两部分，也就是logistic回归的处理方法
1.权重加权
对每个输入信号x1, x2, x3，乘以对应的权重分别为w1, w2, w3，然后加上内部强度 b
2.激活函数
z可以取到R中任意值，不利于处理，所以我们需要进行处理数据，这就要用到激活函数 a=σ(z) 。一般来讲，我们经常采用sigmoid函数：
sigmoid函数的表达式
sigmoid函数图像
之前我们所说的是对单个神经元进行处理，一个神经元不可能只处理一组数据，而且神经网络不可能只包含一个神经元，所以我们扩大我们的样本数量：
其中每个xn都是n维的向量，y属于{0,1}。
对第一层神经元而言，第一步计算z：
简化一下，就是
第二步计算a：
抽象一下，第 l-1 层输出到第 l 层的公式就是：
注意这里，用 a[l-1]替代了 x，因为，实际上而言a[0]就是输入层x。
以上就是基本神经网络的简单模型，之后我们会介绍一下神经网络的训练。
神经网络的训练
对于神经网络来说，我们不可能在一开始就给出神经网络的最优解，所以我们需要足够的样本来训练它。
简单总结一下，对于单个神经元来说，其logistic回归为：
其中ŷ为我们计算的输出标签，实际上它会与实际值y有所偏差，所以我们需要引入函数来计算偏差的大小：
LOSS FUNCTION（损失函数）：
一般来说，我们高数课上讲的比较ŷ与y的函数是：
可是上述函数的缺点为它会给出很多局部数据的最优解，在我们绘图是它会出现类似波浪形状的图形，在整体上会有很多点是非凸的，无法用梯度下降法找到最优解，于是我们引入如下函数：
在这个公式中，当ŷ越接近于y时，这个函数的值就越小，也就说明我们的神经网络越好。我们简单地代入两个极限值0和1来证明这个函数的正确性。
1.如果 y=1，则 L(ŷ, y)=-log(ŷ)，只有当ŷ趋近于最大值1时，-log(ŷ) 才达到最小
2.如果 y=0，则 L(ŷ, y)=-log(1-ŷ)，只有当 ŷ 趋近于最小值0时，-log(1-ŷ) 才达到最小
损失函数只是针对单个样本数据的，当我们面对m个样本时，我们就要引入成本函数。
COST FUNCTION（成本函数）：
很简单，对多个损失函数的解计算其数学期望（求平均值）
展开函数得：
很明显，成本函数越小，证明我们的训练效果越好，那我们如何减小成本函数呢，之后我们会介绍梯度下降法。
梯度下降法
我们都知道，对于一个多元函数来说，梯度即是某一点最大的方向导数，沿梯度方向函数有最大的变化率（正向增加，逆向减少）。(∂u/∂L)M0=n∗l=|n|cosθ当θ=0时，该方向为函数的梯度方向，梯度表示为：
所以在我们求出成本函数值后，我们要对w进行修正，我们对损失函数L(ŷ,y)取一个截面，假设我们在现有的数据在A点
其中，无论是在最小值的左右，每进行一次迭代都会是w点向最小值靠近，只要训练样本足够多，我们就会找出一个成本函数在预期范围内的神经网络。
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