格

一, 格的基本定义和性质

定义

偏序集定义: 偏序集<L, ≤>中对任意两个元a, b, 在L中都存在一个元是他们的上确界, 一个元是他们的下确界, 则称<L, ≤>是一个格;

• 既然偏序集是集合, 那么格自从这个定义看就是一个集合, 这个集合中的元素两两之间都有偏序关系D, 而且每对元素都能够找到上确界和下确界;

• 对两个元素来说, 上确界记作a+b(并, 析取), 下确界记作a*b(交, 合取);

• 基本定理: 若<L, ≤>是一个格, 则对任何a, b∈L, 有
  (1) a≤b <=> a*b = a
  (2) a≤b <=> a+b = b

实例化: 格的定义是来自于一个例子的:

(2) 集合I+代表正整数, 那么I+上的运算"整除"可以使得"a能够被b整除"变成关系D;
这时, D是一个偏序关系, 我们可以写作a≤b (a偏序b);
那么, 对<I+, ≤>这个偏序集, 对其中任意的两个元素a, b, 都能够满足a+b(上确界存在)和a*b(下确界存在)总是存在于I+集合里, (a+b为上确界, 即a≤a+b, b≤a+b, 下确界同理), 那么我们认为<I+, ≤>, 也记作<I+, +, *>是一个格;

• 保序性: 若<L, ≤>为一个格, 则对任何a, b, c∈L, 当b≤c时, 有ab≤ac, a+b≤a+c;

• 分配不等式: a+(bc) <= (a+b)(a+c); a(b+c) >= ab+a*c;

  • 证明: 第一个式子: bc<=b, b<=a+b ==> bc<=a+b;
    bc<=c, c<=a+c ==> bc<=a+c;
    所以, bc <= (a+b) * (a+c)
    又因为 a <= a+b, a<= a+c, 所以a<=(a+b)(a+c)
    综上, a+(bc) <= (a+b)(a+c)
    另外一个式子同理可证;

• 模数不等式: a≤c <=> a+(bc) ≤ (a+b)c; (先乘小于先加;)

证明: a<=c,
则由分配不等式有: a+(bc) <= (a+b)(a+c) = (a+b)c;
如果有右边, 则a<=a+(bc)<= (a+b)*c<=c, 使得a<=c成立;

第二定义

• 把+, *作为运算, 加上集合S, 构造成一个代数系统
• 代数系统定义: 如果<S, +, >是一个代数系统, +和是S上的二目运算, 它服从交换律, 结合律, 吸收律, (等幂律会自动被推导出来), 那么<S, +, *>是一个格;

• 推导等幂律: 已知吸收律: a+(ab) = a, a(a+b) = a
  所以, aa = a(a+(ab)) = 当成a(a+x) = a;

二, 格参照群的一些小定义

子格

定义: 若<L, +, *>是一个格, L包含S, 那么<S, +, *>是子格;

直接积

若<L, ➕, *>和<S, v, ^>是两个格, 则<L×S, +, ·>是两个格的直接积, 也是一个格;

• 集合中的元素做笛卡尔积, 也就是连接起来变成序偶, 然后运算按照如此定义: 对<a1, b1> <a2, b2>∈LxS这样的序偶集合, 有
  <a1, b1>+<a2, b2> = <a1➕a2, b1vb2>
  <a1, b1>· <a2, b2> = <a1*a2, b1^b2>

格之间的同态映射

<L, ➕, >和<S, v, ^>是两个格, 如果有a, b∈L, 满足g: L->S使得
g(a➕b) = g(a)vg(b), g(ab) = g(a)^g(b),
那么g是从前者格到后者格的同态映射;

引出布尔代数(分配补格)

完备性

如果一个格的每一个非空子集(不仅限制在两个元素了...)都在格中具有一个上确界和下确界, 那么这个格是完备的; 完备性对所有有限的格都能满足;

• 对于一个格, 它的上确界和下确界如果存在, 那么被称作边界, 分别记作1, 0, 这个格叫作有界格, 记号<L, +, *, 0, 1>

补元和补格

• 补元: <L, +, , 0, 1>中, 若对a∈L, 存在ab = 0, a+b = 1, 那么b是a的补元;
• 补格: <L, +, *, 0, 1>只, 对每个a∈L, 都至少有一个b作为补元, 那么这是一个补个;

分配格

• 格本身具有分配不等式:
  a+(bc) <= (a+b) * (a+c); a(b+c) >= (ab) + (ac);
• 当不等式变成等式的时候, 这个格是分配格;
• 引理: 分配格中, 若a+b=a+c且ab=ac, 那么b=c;

证明: 构造(ab)+c作为桥梁,
(ab)+c = ac+c = c
(ab)+c = (a+b)(b+c) [分配率]= (a+b)(c+b) [交换律]= (ac)+b = (ab)+b [吸收率]= b
所以, b=(a*b)+c=c;

• 定理: 分配格与分配格的直接积是分配格;
• 补元唯一性定理: 分配格中的元a如果有补元b, 那么补元是唯一的;

证明: 假设存在b, c两个补元, 那么a+b = a+c = 1, ab=ac = 0, 用上面的定理, 则 b=c, 所以只有唯一的补元;

分配唯一补格==>布尔代数格

一个格如果又是分配格, 又是补格, 那么它的每个元都有唯一的补元, 这样的分配唯一补格, 就是传说中的布尔代数格;

布尔代数

布尔代数定义和性质

布尔代数: 既是补格, 又是分配格的格<L, +, *, 0, 1>作为一个代数系统, 它就是布尔代数;