关于非标准卡方(chi square)分布讨论

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从[标准正态分布]（也称独立同分布于标准[正态分布]，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
其自由度n为独立随机分布的个数
性质:
(１)：均数为自由度n。
(２)：方差为两倍自由度2n
注意：
这里要求这些随机变量都是标准正态分布，即均值为０方差为１．
最基本的计算卡方值的公式是

其中O是观察值，E是期望值。
但这儿想讨论的问题是，如果不是标准的正态分布。那么非标准的正态分布的平方和构成的非标准的卡方分布，他们的均值和方差是多少？
稍微一般点的卡方分布是每个变量符合均值为但是方差仍然为１的正态分布，那么他们的平方和所符合的卡方分布的均值和方差为（资料源于维基百科 Noncentral chi-squared distribution - Wikipedia
）

其中即是独立变量的个数，而。即各个独立变量的均值的平方和。假设独立变量的均值为０，方差不为１，如果我们仍然能得到上面的公式的话，由于为０，方差和均值就和最基本的卡方分布相同。但是发现这个问题比想象中复杂很多。
首先卡方分布是一种特殊的伽马分布(gamma distribution)。gamma分布具体见wiki百科
Gamma distribution - Wikipedia
简单来说,gamma分布由如下两个参数决定shape parameter 和scale parameter 决定。如果一个变量分布服从gamma分布，那我们把它记为

下面从标准正态分布讲到gamma分布和它的关系。如果一个变量符合标准正态分布，我们把它记为

那这个变量的平方符合自由度为１的卡方分布，记为

同时，自由度为１的卡方分布为的卡方分布。即
。如果个独立变量服从标准高斯分布，那么他们的平方和服从自由度为的卡方分布即

同时符合Gamma分布

这儿体现出了Gamma函数的一个性质。在相同的情况下，Gamma分布是可加的。因为每一个变量的平方都符合Gamma分布

如果不同，就不能这样。
如果我们拥有个服从均值为０，方差为的独立变量，即。
那么有(参考 Distribution of sum of squares of normals that have mean zero but not variance one?　的第一个回答
)

第３到第４个式子用的是gamma分布scaling的性质（已在Matlab里验证），具体见上面wiki里scaling的部分。由于是scaling参数的不同，就意味着个服从均值为０，方差为的独立变量的平方和并不能很简单地相加写为另一个Gamma分布什么的。参考了stack　exchange的问题 Generic sum of Gamma random variables
其中top回答者whuber的回答大概表示会表示成一个有限gamma分布的混合。即一堆gamma分布相加。Paul Harrison的回答表示可以用一个Gamma函数近似，根据他提供的公式求得新的和。
Gamma函数的均值的是，方差是。所以个服从标准正态分布的独立变量的均值是，即变量个数。但是当他们的方差不同时，我们不能直接说个服从均值为０，方差为的独立变量的平方和服从一个简单的Gamma分布，均值是n了，因为Gamma在相同的条件下可加的性质不能使用了。
如果均值不为０．

就更麻烦了。至少得让变量减去均值才能开始分析吧。