集合论（二）

集合论为什么可以作为数学的基础？

数学中的绝大多数理论都是关于抽象结构的理论，即研究的是抽象对象之间的关系，而今对这些对象具体是什么并不关心。

举一个简单的例子，我们所熟悉的十进制自然数，数学家不会一直盘问数字是什么，他们所关心的是基于一种严格理性定义下的数字概念，我们可以获得关于这种概念之间的何种知识。如，著名的皮亚诺公理在一定意义上严格定义了自然数的概念：

暂且不考虑严肃的关于集合的定义，令所有自然数组成的集合为N。

（1）存在一个数字0属于N。

（2）如果a属于N，那么存在一个a的后继数，称为a~，且a~必也属于N。

（3）0不是任何数的后继数。

（4）如果a和b都属于N且a、b不相等，那么a~和b~也不相等。

（5）如果N存在一个子集S，0属于S，且如果由a属于S可推得a~属于S，那么S=N。

以上第（5）条就是我们所熟悉的归纳公理，数学归纳法的正确性可以由此条公理推出。而其他的所有公理也都有其不可或缺的作用，比如公理（1）就保证了自然数集N不为空集，公理（2）保证了我们可以一直数下去。在这里所有不为0的自然数都可以通过对0不断地取后继数而得到，比如2其实就等于（0~）~。我们用这个公理系统证明一个简单的定理(可以看到，如果没有相应的公理3和公理4我们甚至无法保证看起来不同的自然数是不相等的)：

定理1：1不等于2。

证明：

0不等于0~，即，0不等于1（若0等于1，那么根据公理（4）的逆否命题以及公理（3）矛盾，读者可以自己尝试证明）。

由于0不等于1，1不等于2（公理（4））

Q.E.D

有了这个公理，至于我们把自然数写成1、2、3、4、5、6、7、8、9……还是一、二、三、四、五、六、七、八、九……或是！、@、#、￥、%、……、&、*、？……都不重要。

这有点类似于我们之前提到过的逻辑学中的语形和语义，这些符号可以有不同的语形，只要它们的语义一致，我们就可以保证同一条数学定理对他们都通用。在数学中，这种有着一致语义的抽象关系我们称之为同构（isomorphism），其较为严格的形式定义为：

设集合X和集合Y都存在一个二元运算关系@，可以把这个关系想象成自然数中的加法、乘法等等，那么称X和Y同构，当：

（1）    存在一个从X到Y的双射函数f。

（2）    对于任何属于集合X的元素x1和x2，x1@x2=f(x1)@f(x2）

……

在20世纪初期，德国数学家、逻辑学家、哲学家弗雷格提出数学理论中的一切对象其实都可以同构于一种叫集合（set）的东西，例如上面所提到的自然数不仅可以是一个集合，连自然数本身也可以是集合，那么我们就可以把自然数中的0写为{}、1写为{0}、2写为{0,1}……这样，我们只要给定一个关于集合的坚实理论，那么所有的数学理论都有一个坚实的基础了。

多美好的想法。