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机器学习入门:极度舒适的GBDT原理拆解

机器学习入门:极度舒适的GBDT原理拆解

作者: 统计学家 | 来源:发表于2020-07-04 15:30 被阅读0次

    机器学习入门:极度舒适的GBDT拆解

    本文旨用小例子+可视化的方式拆解GBDT原理中的每个步骤,使大家可以彻底理解GBDT

    BoostingGradient Boosting

    Boosting是集成学习的一种基分类器(弱分类器)生成方式,核心思想是通过迭代生成了一系列的学习器,给误差率低的学习器高权重,给误差率高的学习器低权重,结合弱学习器和对应的权重,生成强学习器。

    前文我们讲过的AdaBoost就是典型的Boosting算法

    Boosting算法要涉及到两个部分,加法模型和前向分步算法。
    加法模型就是说强分类器由一系列弱分类器线性相加而成。一般组合形式如下:
    F_M(x;P)=\sum_{m=1}^n\beta_mh(x;a_m)
    其中,h(x;a_m)就是一个个的弱分类器,a_m是弱分类器学习到的最优参数,β_m就是弱学习在强分类器中所占比重,P是所有α_mβ_m的组合。这些弱分类器线性相加组成强分类器。

    前向分步就是说在训练过程中,下一轮迭代产生的分类器是在上一轮的基础上训练得来的。也就是可以写成这样的形式:
    F_m (x)=F_{m-1}(x)+ \beta_mh_m (x;a_m)

    Gradient Boosting = Gradient Descent + Boosting

    Boosting 算法(以AdaBoost为代表)用错分数据点来识别问题,通过调整错分数据点的权重来改进模型。Gradient Boosting通过负梯度来识别问题,通过计算负梯度来改进模型。

    Gradient Boosting每次迭代的目标是为了减少上一次的残差,在残差减少的梯度(Gradient)方向上建立一个新的模型,每个新的模型的建立是使之前模型的残差往梯度方向减少。

    第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为:
    \large {r_{mi}} = -\left[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)} \right]_{f(x)=f_{m-1}(x)}

    此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度,如果选择平方损失
    L(y_i,f(x_i)) = \frac{1}{2}(y_i - f(x_i))^2

    负梯度为r_{mi} = y_i - f(x_i)

    此时我们发现GBDT的负梯度就是残差,所以说对于回归问题,我们要拟合的就是残差。


    image

    GBDT回归算法

    输入是训练集样本T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}, 最大迭代次数T, 损失函数L。
    输出是强学习器f(x)

    1. 初始化弱学习器
    2. 对迭代轮数t=1,2,...T有:
      f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)

    a)对样本i=1,2,...m,计算负梯度
    r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\;(x)}
    b)利用(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树,其对应的叶子节点区域为R_{tj}, j =1,2,..., J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

    c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值
    c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)
    d)更新强学习器
    f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

    1. 得到强学习器f(x)的表达式
      f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

    二元GBDT分类算法

    对于二元GBDT,如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数,则损失函数为:
    L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))
    其中y∈{?1,+1}。则此时的负梯度误差为
    r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))
        对于生成的决策树,我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
    c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))
        由于上式比较难优化,我们一般使用近似值代替
    c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)
    除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索,二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

    小例子+可视化理解GBDT

    上面对原理进行了分析之后,大致对GBDT有了一定的认识,为了更加形象的解释GBDT的内部执行过程,这里引用《统计学习方法》中adaboost一节中的案例数据来进行进一步分析。强烈建议大家对比学习,看一下Adaboost和 GBDT 的区别和联系。
    数据集如下:

    image

    采用GBDT进行训练,为了方便,我们采用MSE作为损失函数,并且将树的深度设为1,决策树个数设为5,其他参数使用默认值

    import numpy as np
    import pandas as pd
    from sklearn import tree
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
    from sklearn.model_selection import train_test_split 
    
    X = np.arange(1,11)
    y = np.array([5.56, 5.70, 5.91, 6.40, 6.80, 7.05, 8.90, 8.70, 9.00, 9.05])
    display(X,y)
    
    gbdt = GradientBoostingRegressor(n_estimators=5,max_depth=1)
    gbdt.fit(X.reshape(-1,1),y)
    

    其中GradientBoostingRegressor主要参数如下

    GradientBoostingRegressor(alpha=0.9, criterion='friedman_mse', init=None,
                              learning_rate=0.1, loss='ls', max_depth=1,
                              max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                              min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                              min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                              min_weight_fraction_leaf=0.0, n_estimators=5,
                              n_iter_no_change=None, presort='auto',
                              random_state=None, subsample=1.0, tol=0.0001,
                              validation_fraction=0.1, verbose=0, warm_start=False)
    
    image

    其他参数为决策树参数,大家应该已经很熟悉了,不再赘述。

    下面我们根据GBDT回归算法原理,开始分步硬核拆解:

    第一步:根据初始化公式
    f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)
    可以计算出F_{0}(x)=7.307(本例中,恰好为yi均值)

    第二步:计算损失函数的负梯度值:
    r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}
    由于是MSE损失,上式等于\hat{y}_i = y_i - F_{m-1}(x_i),结果如下:

    #计算残差
    y - y.mean()
    [out]:
    array([-1.747, -1.607, -1.397, -0.907, -0.507, -0.257,  1.593,  1.393,
            1.693,  1.743])
    

    第三步:对上面残差拟合第一棵树
    根据所给的数据,可以考虑的切分点为1.5、2.5、3.5、4.5、5.5、6.5、7.5、8.5、9.5分别计算y_i - F_{0}(x_i)的值,并计算出切分后的左右两侧加和MSE最小的切分,最后得到的是6.5

    找到最佳的切分点之后,我们可以得到各个叶子节点区域,并计算出R_{jm}\gamma_{jm}.此时,R_{11}x小于6.5的数据,R_{21}为x大于6.5的数据。同时,
    <p>r_{11} = \frac{1}{6} \sum_{x_i \in R_{11}} y_{i}=-1.0703</p>
    <p>r_{21} = \frac{1}{4} \sum_{x_i \in R_{21}} y_{i}=1.6055</p>

    print((y - y.mean())[:6].mean(),
    (y - y.mean())[6:10].mean())
    [out]:-1.07 1.605
    #计算mse
    print(
    ((y - y.mean())**2).mean(),
    ((y[:6] - y[:6].mean())**2).mean(),
    ((y[6:10] - y[6:10].mean())**2).mean())
    [out]
    1.911421 0.309689 0.0179686
    

    第一棵树的可视化

    tree.plot_tree(gbdt[0,0],filled=True)
    
    image

    最后:更新F_{1}(x_i)的值
    F_1(x_i)=F_{0}(x_i)+ \rho_m \sum^2_{j=1} \gamma_{j1} I(x_i \in R_{j1}),其中\rho_m为学习率,或称shrinkage,目的是防止预测结果发生过拟合,默认值是0.1。

    至此第一轮迭代完成,后面的迭代方式与上面一样,
    本例中我们生成了5棵树,大家可以用tree.plot_tree可视化其他树

    第二棵树
    课后作业,大家可以思考一下,第二棵树中的value是如何计算出来的?其实很简单哈????

    迭代m次后,第m次的F_{m}(x)即为最终的预测结果。</p>
    <p><br>F_{m}(x) = F_{m-1}(x) + \rho_{m} h(x; a_m)</p>

    参考

    https://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html
    https://blog.csdn.net/u014168855/article/details/105481881
    https://www.csuldw.com/2019/07/12/2019-07-12-an-introduction-to-gbdt/

    image

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