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Immersed Boundary Method 笔记

Immersed Boundary Method 笔记

作者: 马鹏飞_47c5 | 来源:发表于2020-05-19 23:04 被阅读0次

IBM的介绍和有限元逼近

PPT 作者：Lucia Gastaldi 合作者：Daniele Boffi, Luca Heltai, Nicola Cavallini, Pavia

基本术语

codimension ：余维数，固体比流体少的维数，这里只介绍余维数为0的情况。

virtual work principle：虚功原理，把强形式转换成弱形式

基本符号

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1. 动量守恒方程

在整个区域\Omega都满足下面的公式

\rho \dot{\mathbf{u}}=\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}\right)=\nabla \cdot \sigma \quad \text { in } \Omega

其中，方程右端的柯西应力张量可以写成

\sigma=\left\{\begin{array}{ll} \sigma_{f} & \text { in } \Omega \backslash B_{t} \\ \sigma_{f}+\sigma_{s} & \text { in } \mathcal{B}_{t} \end{array}\right.

2. 虚功原理

假设固体和流体的密度相同，在动量方程两端乘上任意函数\mathbf{v}，再在整个区域上进行积分，再进行一次分部积分，可以得到

\begin{array}{l} \rho_{t} \int_{\Omega} \dot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{v} d \mathbf{x}=-\int_{\Omega} \sigma: \nabla \mathbf{v} d \mathbf{x}+\int_{\partial \Omega} \sigma \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} d a \end{array}

再将柯西应力张量代入，

\begin{array}{l} \rho_{t} \int_{\Omega} \dot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{v} d \mathbf{x}+\int_{\Omega} \sigma_{f}: \nabla \mathbf{v} d \mathbf{x}-\int_{\partial \Omega} \sigma_{f} \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} d a \\ =-\int_{\mathcal{B}_{t}} \sigma_{s}: \nabla \mathbf{v} d \mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{v} \end{array}

其中第一PK应力张量为：

\tilde{\mathbb{P}}(s, t)=|\mathbb{F}(s, t)|\sigma_s(\mathbf{X}(s, t), t) \mathbb{F}^{-T}(s, t), \quad s \in \mathcal{B}
进而做变量代换 x=\mathbf{X}(s,t)，可以得到：（这一步有两个地方需要注意的，\nabla变成了\nabla_s，d\mathbf{x}变成了ds，然后才有这样的等式）
\int_{\mathcal{B}_{t}} \sigma_{s}: \nabla \mathbf{v} d \mathbf{x}= \int_{B} \tilde{\mathbb{P}}: \nabla_{s} \mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t)) d s
然后再做一次分部积分，得到面上的应力积分和体积上的应力积分

$$
\int_{B} \tilde{\mathbb{P}}: \nabla_{s} \mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t)) d s
=
\int_{\mathcal{B}}\left(\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}\right) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t)) d s

\int_{\partial B} \tilde{\mathbb{P}} \mathbf{N} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t)) d A
$$
利用delta函数做隐式变量替换（implicit change of variables），

\mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t))=\int_{\Omega} \mathbf{v}(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d \mathbf{x}
先替换前面这一项，然后再改变积分顺序：
\int_{\mathcal{B}}\left(\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}\right) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{X}(s, t)) d s = \int_{\mathcal{B}}\left(\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}\right) \cdot\left(\int_{\Omega} \mathbf{v}(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d \mathbf{x}\right) d s\\ = \int_{\Omega} \int_{\mathcal{B}}\left(\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}\right) \delta(x-X(s, t)) d s \cdot \mathbf{v} d x

对第二项可以做相同的变换，最后得到：

\begin{array}{l} \int_{\Omega} (\rho_{t}\dot{\mathbf{u}} -\nabla\cdot\sigma_f)\cdot \mathbf{v} d \mathbf{x} =\\ \int_{\Omega} \int_{\mathcal{B}}\left(\nabla_{s} \cdot \mathbb{P}\right) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s \cdot \mathbf{v} d \mathbf{x} -\int_{\Omega} \int_{\partial \mathcal{B}} \tilde{\mathbb{P}} \mathbf{N} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d \mathbf{A} \cdot \mathbf{v} d \mathbf{x} \end{array}

因为\mathbf{v}是任意的，我们又回到强形式：

\begin{array}{l} \rho \dot{\mathbf{u}}-\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}_{f}=\int_{\mathcal{B}} \nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s-\int_{\partial \mathcal{B}} \tilde{\mathbb{P}} \mathbf{N} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) \mathrm{d} \mathbf{A} \end{array}

另设符号g，有
g=\int_{\mathcal{B}} \nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s=\int_{\mathcal{B}} G \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s
实际中G可以通过下面的公式求出
\int_{\mathcal{B}} (\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}) \cdot\mathbf{v} d s=\int_{\mathcal{B}} G \mathbf{v} d s

3. 问题总结

原来的动量方程可以归结为以下三个方程的求解：

\rho \dot{\mathbf{u}}-\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}_{f}=g

\int_{\mathcal{B}} (\nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}}) \cdot\mathbf{v} d s=\int_{\mathcal{B}} G \mathbf{v} d s

g=\int_{\mathcal{B}} \nabla_{s} \cdot \tilde{\mathbb{P}} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s=\int_{\mathcal{B}} G \delta(\mathbf{x}-\mathbf{X}(s, t)) d s

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