图--Data strcture

作者: Nancy_Shi | 来源:发表于2018-05-26 00:08 被阅读0次

数据结构学不好，c++就到后面会很迷，数据结构真滴很重要啊，上机题一定要认真做，紧密的和实际操作的代码联系在一起是最好的。
在学图这一章时一定要与前面的知识紧密联合，做做比较。
今天就来总结一下图吧，开心~

图与线性表、树的区别

1.图更复杂哈哈哈废话？
2.在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个前驱与一个后继；
在树形结构中呢，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关（孩子节点）；
but！！！
在图形结构中，节点之间的关系可以是任意的，图中的任意两个元素之间都可能有关。

名词解释：

图（Graph）

在图中的数据元素，我们称之为顶点（Vertex）
1.按方向分，图可分为有向图，无向图。
无向图由顶点和边组成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分，带箭头一端为弧头。
图上的边或弧带有权则称为网。
2.按边或弧的个数大小，图可分为稀疏图和稠密图。
如果图中的任意两个顶点之间都存在边叫做完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。

边=1/2n(n-1)的无向图称为完全图

边<n logn为稀疏图，反之为稠密图（sparse graph,Dense graph)

顶点（v)的度（Degree）是和v相关联的边的数目（可分为入度，出度）

公式：总边数=1/2总度数

路径

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
环（回路）:第一个顶点和最后一个顶点有相同的路径。
若除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，可叫做简单回路（环）。

连通分量

指的是无向图中的极大连通子图。
极大连通子图的条件就是：1.是子图。2.尽可能大（emmm这不废话吗...）
强连通图：每一个顶点都有进有出。
强连通分量：有向图的极大强连通子图。
生成树：极小连通子图。
一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边
若小于n-1：非连通图
若大于n-1，则一定有回路（环）

图的存储结构

邻接矩阵

图的邻接矩阵的表示方式需要两个数组来表示图的信息，一个一维数组表示每个数据元素的信息，一个二维数组（邻接矩阵）表示图中的边或者弧的信息。

如果图有n个顶点，那么邻接矩阵就是一个n*n的方阵，若考虑无向图的邻接矩阵的对称性，则可采用压缩存储的方式只存入矩阵的上三角（or下三角）元素。

图片.png

对于有权值的网，二维数组中的元素不再是0,1表示是否存在边，而是把元素值表示为权值。不存在的边，权值记录为∞；对角线上的权值为0.

图片.png

结论：
1. 无向图的邻接矩阵都是沿对角线对称的
2. 要知道无向图中某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
3. 对于有向图，要知道某个顶点的出度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行的元素之和，如果要知道某个顶点的入度，那就是第i列的元素之和。
  *邻接矩阵代码的实现（虽长但有注释不难滴）

#include<iostream>
using namespace std;

enum Graphkind{ DG, DN, UDG, UDN }; //{有向图，无向图，有向网，无向网}
typedef struct  Node
{
    int * vex;  //顶点数组
    int vexnum; //顶点个数
    int edge;   //图的边数
    int ** adjMatrix; //图的邻接矩阵
    enum Graphkind kind;
}MGraph;
void createGraph(MGraph & G,enum Graphkind kind)
{
    cout << "输入顶点的个数" << endl;
    cin >> G.vexnum;
    cout << "输入边的个数" << endl;
    cin >> G.edge;
    //输入种类

    //cout << "输入图的种类：DG:有向图 DN：无向图，UDG：有向网,UDN:无向网" << endl;
    G.kind = kind;
    //为两个数组开辟空间
    G.vex = new int[G.vexnum];
    G.adjMatrix = new int*[G.vexnum];
    cout << G.vexnum << endl;
    int i;
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        G.adjMatrix[i] = new int[G.vexnum];
    }
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (int k = 0; k < G.vexnum; k++)
        {
            if (G.kind == DG || G.kind == DN)
            {
                G.adjMatrix[i][k] = 0;
            }
            else {
                G.adjMatrix[i][k] = INT_MAX;
            }
        }

    }
    /*//输入每个元素的信息,这个信息，现在还不需要使用
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        cin >> G.vex[i];
    }*/
    cout << "请输入两个有关系的顶点的序号：例如：1 2 代表1号顶点指向2号顶点" << endl;
    for (i = 0; i < G.edge; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a;
        cin >> b;
        if (G.kind == DN) {
            G.adjMatrix[b - 1][a - 1] = 1;
            G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = 1;
        }
        else if (G.kind == DG)
        {
            G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = 1;
        }
        else if (G.kind == UDG)
        {
            int weight;
            cout << "输入该边的权重：" << endl;
            cin >> weight;
            G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = weight;
        }
        else {
            int weight;
            cout << "输入该边的权重：" << endl;
            cin >> weight;
            G.adjMatrix[b - 1][a - 1] = weight;
            G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = weight;
        }   
    }
}
void print(MGraph g)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < g.vexnum; i++)
    {
        for (j = 0; j < g.vexnum; j++)
        {
            if (g.adjMatrix[i][j] == INT_MAX)
                cout << "∞" << " ";
            else
            cout << g.adjMatrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

void clear(MGraph G)
{
    delete G.vex;
    G.vex = NULL;
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        delete G.adjMatrix[i];
        G.adjMatrix[i] = NULL;
    }
    delete G.adjMatrix;
}
int main()
{

        MGraph G;
        cout << "有向图例子：" << endl;
        createGraph(G, DG);
        print(G);
        clear(G);
        cout << endl;
        cout << "无向图例子：" << endl;
        createGraph(G, DN);
        print(G);
        clear(G);

        cout << endl;
        cout << "有向图网例子：" << endl;
        createGraph(G, UDG);
        print(G);
        clear(G);

        cout << endl;
        cout << "无向图网例子：" << endl;
        createGraph(G, UDN);
        print(G);
        clear(G);

        cout << endl;
    return 0;

邻接矩阵优缺点：
优点：
直观、容易理解，可以很容易的判断出任意两个顶点是否有边，最大的优点就是很容易计算出各个顶点的度。
缺点：
当我么表示完全图的时候，邻接矩阵是最好的表示方法，但是对于稀疏矩阵，由于它边少，但是顶点多，这样就会造成空间的浪费。
邻接表

邻接表是图的一种链式存储结构。主要是应对于邻接矩阵在顶点多边少的时候，浪费空间的问题。它的方法就是声明两个结构。

图片.png

用c++来表示如下：

typedef char Vertextype;
//表结点结构
struct ArcNode {
    int adjvex;   //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。
    ArcNode * nextarc; //指向下一个表结点
    int weight;   //这个只有网图才需要使用。普通的图可以直接忽略
};

//头结点
struct Vnode
{
    Vertextype data;  //这个是记录每个顶点的信息（现在一般都不需要怎么使用）
    ArcNode * firstarc; //指向第一条依附在该顶点边的信息（表结点）
};

想要整体的实现邻接表的代码，没有什么比直接看代码更清楚的了。
因为的今天的上机实验题就类似这个，不过是用邻接表递归地深度优先遍历无向网G，比下面的代码要难嘻嘻嘻，不过我们慢慢来~
平常写代码我从来不标注释，但是标注释真滴是一个非常好的习惯~复习起来很方便

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

typedef string Vertextype;
//表结点结构
struct ArcNode {
    int adjvex;   //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。
    ArcNode * nextarc; //指向下一个表结点
    int weight;   //这个只有网图才需要使用。
};

//头结点
struct Vnode
{
    Vertextype data;  //这个是记录每个顶点的信息（现在一般都不需要怎么使用）
    ArcNode * firstarc; //指向第一条依附在该顶点边的信息（表结点）
};

//
struct Graph
{
    int kind;  //图的种类(有向图：0,无向图：1，有向网：2，无向网：3)
    int vexnum; //图的顶点数
    int edge;  //图的边数
    Vnode * node; //图的（顶点）头结点数组
};

void createGraph(Graph & g,int kind)
{
    cout << "请输入顶点的个数：" << endl;
    cin >> g.vexnum;
    cout << "请输入边的个数（无向图/网要乘2）：" << endl;
    cin >> g.edge;
    g.kind = kind; //决定图的种类
    g.node = new Vnode[g.vexnum];
    int i;
    cout << "输入每个顶点的信息：" << endl;//记录每个顶点的信息
    for (i = 0; i < g.vexnum; i++)
    {
        cin >> g.node[i].data;
        g.node[i].firstarc=NULL;

    }

    cout << "请输入每条边的起点和终点的编号：" << endl;
    for (i = 0; i < g.edge; i++)
    {
        int a;
        int b;
        cin >> a; //起点
        cin >> b; //终点
        ArcNode * next=new ArcNode;
        next->adjvex = b - 1;
        if(kind==0 || kind==1)
        next->weight = -1;
        else {//如果是网图，还需要权重
            cout << "输入该边的权重：" << endl;
            cin >> next->weight;
        }
        next->nextarc = NULL;

        //将边串联起来
        if (g.node[a - 1].firstarc == NULL) {
            g.node[a - 1].firstarc=next;

        }
        else 
        {
            ArcNode * p;
            p = g.node[a - 1].firstarc;
            while (p->nextarc)//找到该链表的最后一个表结点
            {
                p = p->nextarc;
            }
            p->nextarc = next;
        }
    }
}

void print(Graph  g)
{
    int i;
    cout << "图的邻接表为：" << endl;
    for (i = 0; i < g.vexnum; i++)
    {
        cout << g.node[i].data<<" ";
        ArcNode * now;
        now = g.node[i].firstarc;
        while (now)
        {
            cout << now->adjvex << " ";
            now = now->nextarc;
        }
        cout << endl;
    }
}

int main()
{
    Graph g;
    cout << "有向图的例子" << endl;
    createGraph(g,0);
    print(g);
    cout << endl;

    cout << "无向图的例子" << endl;
    createGraph(g, 1);
    print(g);
    cout << endl;
    return 0; 
}

邻接表的优缺点：
优点：
对于，稀疏图，邻接表比邻接矩阵更节约空间。
缺点：
不容易判断两个顶点是有关系（边），顶点的出度容易，但是求入度需要遍历整个邻接表。

接下来迎来重难点了咳咳：

图的遍历

抛出概念：
图的遍历：从图中某一个顶点出发遍历途中其余顶点，每一个顶点仅被访问一次。
基本思路：
（1）树有四种遍历方式，因为根节点只有一个。而图的复杂情况是的顺着一个点向下寻找，极有可能最后又找到自己，形成回路导致死循环。
（2）所以要设置一个数组voisited[n]，n是图中顶点个数，初值为0，当该顶点被遍历后，修改数组元素的值为1
（3）基于此，形成了2中遍历方案：

深度优先遍历&广度优先遍历

深度优先遍历(DFS)
如下图所示，我们进行深度遍历，一个原则就是，每当我们发现有多个出度时，选择右手边的出度作为下一个遍历的顶点路径。
（1）从A出发，发现出度为B，F。选择右手边的B。A->B
（2）从B出发，出度为C,I,G，选择右手边的C
（3）从C出发，出度为I,D，选择右手边的D
（4）从D出发，出度为I,G,H,E，选择右手边的E
（5）从E出发，出度为H,F，选择右手边的F
（6）从F出发，出度为A,G，选择右手边的A，但发现A已经被遍历过，所以选择G
（7）从G出发，出度为B,D,H，B,D访问过了，选择H
（8）从H出发，出度为D,F，均被访问过了。但此时图中的节点并没有遍历完全，因此我们要按原路返回，去找没走过的路
（9）回退到G，发现所连接的BDFH均被访问；
（10）回退到F，没有通道；回退到E，没有通道，回退到D，发现一个点I，进行标记(若此时与D相邻的还有其他顶点，则在此时一起进行标记)；然后继续回退到A，走完整个路。

在深度优先遍历图时，对图中的每个顶点至多调用一次DFS函数。

遍历图过程的实质是对每个顶点查找其邻接点的过程。

其耗费的时间取决于所采用的存储结构:

当是邻接矩阵的存储结构时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n平方)
（n为顶点数）

当是邻接表的存储结构时，找邻接点所需的时间是O(e) （其中e是无向图中的边数or有向图中弧的数，由此，当邻接表作存储结构时，深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e)

嘻嘻嘻如下是邻接矩阵深度遍历的代码：（可以放到vs上看看运行结果，感受一下）
int visited[MAXVEX] = {0};
void DFS(MGraphy g,int i){
    visited[i] = 1;
    printf("%c,\t",g.vexs[i]);
    for (int j = 0; j < g.vnum; j++) {
        if(g.arc[i][j]!=0 && g.arc[i][j]!=IUNFINITY && !visited[j]){
            DFS(g,j);
        }
    }
}
void DFSTraverse(MGraphy g){
    printf("deep first search begin.\n");
    for (int i = 0; i < g.vnum; i++) {
        if(!visited[i]){
            DFS(g,i);
        }
    }
}

int main() {
    MGraphy g ;
    createGraphy(&g);
    printf("graphy create success ! ! !\n");
    DFSTraverse(g);
}

说完深度遍历的邻接矩阵怎么能不写写邻接表的呢对不对
给你代码自行体会吧

邻接矩阵的深度遍历：
int visited[MAXVEX] = {0};
void DFS(Graph g, int i){      
    printf("%c",g.vset[i].name);
    visited[i] = 1;
    EdgeNode *edgeNode = g.vset[i].firstedgeNode;
    while(edgeNode!=NULL){
        if(!visited[edgeNode->index])
            DFS(g,edgeNode->index);
        edgeNode = edgeNode->next;
    }
}
void DFStraverse(Graph g){
    for (int i = 0; i < g.vNum; i++) {    // 用于不同连通分量
        if(!visited[i])
            DFS(g,i);
    }
}

int main() {
    Graph g;
    createGraphy(&g);
    printf("create graphy success ! ! !\n");
    DFStraverse(g);
}

广度优先遍历（BFS）

书上讲的比我好我做大自然的搬运工：
广度优先遍历类似输的层次遍历
（1）先入队列一个元素
（2）弹出队列顶端的1个元素打印，并把它连接的顶点入队
（3）重复以上过程，直到队列为空

每个顶点至多进一次队列，广度优先搜索遍历图的时间复杂度和深度优先搜索遍历相同，两者不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不同。

图片.png

typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct {
    VertexType vexs[MAXVEX];        /* 顶点表*/
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];   /* 邻接矩阵 */
    int vnum,edgenum;               /*定点的个数和边的个数*/
}MGraphy;

广度优先遍历的邻接矩阵:
/**
 * 邻接矩阵遍历图
 * @param g
 */
void BFSTraverse(MGraphy g){
    SeqQueue *queue;
    initQueue(queue);   // 顺序表实现的队列，先初始化
    int visited[] = {0};    // 初始化每个结点对应为未访问
    int a;
    for(int i=0;i<g.vnum;i++){   // 对每个结点进行深度遍历
        if(visited[i] == 0){
            visited[i] = 1;
            printf("%c",g.vexs[i]);  // 深度遍历后对结点进行打印操作
            enQueue(queue,i);        // 将节点放到队列中
            while (queueLength(queue)){
                deQueue(queue,&a); // 取出对头元素，进行广度遍历
                for (int j = 0; j < g.vnum; ++j) {
                    if(g.arc[a][j] == 1 && visited[j]==0){   // 存在边，且对应的店没有方问过
                        visited[j] = 1;
                        printf("%c",g.vexs[j]);
                        enQueue(queue,j);                           // 遍历后再入队
                    }
                }
            }
        }
    }
}

广度优先遍历的邻接表：

typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535

typedef struct EdgeNode{
    int adjvex;                         /*  邻接点域，该顶点对应的下标  */
    EdgeType weight;
    EdgeNode *next;                     /*  链，指向下一个邻接点  */
}EdgeNode;


typedef struct VertexNode{                  /*  顶点表结点  */
    VertexType data;                        /*  节点名字  */
    EdgeNode *firstedge;                    /*  边表头节点  */
}VertexNode;


typedef struct{
    VertexNode adjList[MAXVEX];             /*  顶点表是一个结构体数组，数组中的元素是Vertex节点  */
    int vnum,enumber;                       /*  图中当前顶点和边数  */
}GraphyAdjList;


/**
 * 广度优先遍历邻接表
 * @param g 
 */
void BFSTraverse2(GraphyAdjList *g){
    SeqQueue *queue;
    initQueue(queue);
    int a;
    int visited[g->vnum] = {0};
    for (int i = 0; i < g->vnum; ++i) {
        if(visited[i] == 0){
            visited[i] = 1;
            printf("%c",g->adjList[i].data);  // 打印定点
            enQueue(queue,i);
            while(queueLength(queue)!=0){
                deQueue(queue,&a);
                EdgeNode *p = g->adjList[i].firstedge;  // 进入结点的邻接表
                while (p!=NULL){
                    if(visited[p->adjvex] != 0){
                        visited[p->adjvex] == 1;
                        printf("%c\n",g->adjList[p->adjvex].data);
                        enQueue(queue,p->adjvex);
                    }
                    p = p->next;
                }
            }
        }
    }
}

最小生成树
最小生成树的概念

（1）一个带权值的图：网。所谓最小成本，就是用n-1条边把n个顶点连接起来，且连接起来的权值最小。
（2）我们把构造联通网的最小代价生成树称为最小生成树
（3）普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法

如下图，普利姆的最小生成树过程为：用Vs存储已经遍历的点，用Es存储已经遍历的边

图片.png

（1）选择D为起点，加入Vs，与D连接的边中，权值最小的边为5，连接的点为A，因此将A加入到Vs，路径DA加入到Es。
（2）此时Vs中存在D和A。与DA连接的边中，权值最小的为6，连接的点为F，因此F加入到Vs，边DF加入到Es。
（3）此时Vs中存在DAF，与DAF连接的边中最小权值为7，连接的点为B，因此B加入Vs，路径AB加入Es
（4）重复以上过程，知道Vs中加入了所有的点

(普里姆算法的代码我老师说不考，不想看的可以忽略下面滴代码）

#include <stdio.h>

typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct {
    VertexType vexs[MAXVEX];        /* 顶点表*/
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];   /* 邻接矩阵 */
    int vnum,edgenum;               /*定点的个数和边的个数*/
}MGraphy;

/**
 * 普里母最小生成树：邻接表表示，时间复杂度为O(n方)
 * @param g 
 */
void miniSpanTree_Prim(MGraphy *g){
    int adjVetex[MAXVEX] = {0};   // 保存相关定点下标
    int lowcost[MAXVEX];      // 保存相关顶点间的权值
    lowcost[0] = 0;
    for (int i = 1; i < g->vnum; ++i)     // 循环除下标为0外的全部结点
        lowcost[i] = g->arc[0][i];        // 初始化lowcost数组，每一个元素的值为0点和给点边的权值

    for (int i = 1; i < g->vnum; ++i) {  // 循环除下标为0外的全部结点
        int min = IUNFINITY;          // 初始化最小权值为无穷
        int j=1,k=0;
        while(j<g->vnum){
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j]<min){   // lowcost[j]为0表示当前点与其他点的权值数组
                min = lowcost[j];
                k = j;  // k为遍历到的最小权值边连接的点
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d)",adjVetex[k],k); // 打印当前顶点边中权值最小的边
        lowcost[k] = 0;
        for (int j = 1; j < g->vnum; ++j) {
            if(lowcost[j] != 0 && g->arc[k][j] < lowcost[j]){
                lowcost[j] = g->arc[k][j];   // 将较小边的权值并入lowcast
                adjVetex[j] = k;
            }
        }
    }
}

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法从边的集合中挑选权值最小的，加入到选择的边集合中。如果这条边，予以选择的边构成了回路，则舍弃这条边。
如下图所示，克鲁斯卡尔的方法为：

图片.png

（1）选择权值最小为7的边V7-V4
（2）选择权值最小为8的边V2-V8
（3）选择权值最小为10的边V1-V0
（4）选择权值最小为11的边V0-V5
（5）选择全职最小为12的边V1-V8,但是发现V1和V8全部是已经访问的点，所以会构成回路，舍弃
（6）选择权值最小为16的边V1-V6
（7）选择权值最小为16的边V3-V7
（8）。。。。

/* 科鲁斯卡尔最小生成树的边的结构体  */
typedef struct{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;

typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct {
    VertexType vexs[MAXVEX];        /* 顶点表*/
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];   /* 邻接矩阵 */
    int vnum,edgenum;               /*定点的个数和边的个数*/
}MGraphy;

/**
 * 查找连线顶点的尾部下标
 */
int find(int *parement,int f){  
    while (parement[f] > 0)
        f= parement[f];
    return f;
}

void miniSpan_Kruskal(MGraphy *g){
    Edge edges[g->edgenum];  // 定义边集数组
    int parement[g->vnum] = {0};     // 定义一个数组，用来判断是否形成回路
    /**
     * 此处省略将邻接矩阵g转化为边集数组edges，并按照权值由大到小排序的过程
     */
    for(int i=0;i<g->edgenum;i++){
        int n = find(parement,edges[i].begin);
        int m = find(parement,edges[i].end);
        if(n!=m){    // n != m说明没有形成环路
            parement[n] = m;  // 将此边的为节点放入到下标为起点的parement数组中
            printf("(%d,%d)  %d",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
        }
    }
}

对两个算法的总结：

1.普里姆算法的时间复杂度为O（n平方），与网中的边数无关，因此适用于求边稠密的网的最小生成树。
2.克鲁斯卡尔算法恰恰相反，时间复杂度为O(e loge) (其中e为网中边的数目），因此更适合求边稀疏的网的最小生成树。

拓扑排序

有向无环图，称为DAG图。
一. 拓扑排序的概念
拓扑排序是对AOV网输出的一个序列
AOV网（Active on Vertex Network）：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系。这样的图称为活动的网。

二. 拓扑排序的算法

步骤：
从AOV网中选择一个入度为0（没有前驱）的顶点然后删除此顶点，并删除以此顶点为尾的弧。重复此步骤，直到输出全部顶点或AOV网中不存在入度为0的顶点为止。
若存在有前驱的顶点，则说明有向图中存在环。

拓扑排序中顶点的数据结构：
（1）前面求最小生成树和最短路径时，都是使用邻接矩阵，但由于拓扑排序中，需要删除顶点，所以使用邻接表方便。
（2）因为拓扑排序中，需要删除入度为0的顶点，所以在原先的顶点数据结构中，加入入度域in。使顶点接都变为

算法的代码不考,考如何进行拓扑排序的选择题。
但是看看代码也没啥坏处嘻嘻嘻

    #include <malloc.h>
    #define MAXVEX 100
    typedef struct EdgeNode{         /* 边表 */
        int adjvex;                                 /* 顶点下标 */
        int weight;                                 /* 权值 */
        struct EdgeNode *next;          /* 边表中的下一节点 */
    }EdgeNode;

    typedef struct VertexNode{      /* 定点表 */
        int in;
        int data;
        EdgeNode *firstEdge;
    }VertexNode,AdjList[MAXVEX];

    typedef struct{
        AdjList adjList;
        int numVertexes,numEdges;
    }graphAdjList,* GraphAdjList;

    /**
     * 拓扑排序
     * @param gl ：链表
     * @return ：若GL无回路，则输出排序序列并返回1；若有回路则返回-1
     */
    int topologicalSort(GraphAdjList gl){
        int *stack = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int));   // stack用于存储入度为0的节点
        int top = 0;   // stack栈顶指针
        int count;      // 加入到栈中节点个数
        for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i)
            if(gl->adjList[i].in == 0)
                stack[++top] = i;

        while(top!=0){
            int gettop = stack[top--];
            printf("%d -> ",gl->adjList[gettop].data);
            count ++;
            for(EdgeNode *e=gl->adjList[gettop].firstEdge; e ; e=e->next){
                int k = e->adjvex;                   // 顶点的下标
                if( ! (-- gl->adjList[k].in))      // 将k号顶点入度减1
                    stack[++top] = k;                // 如果发现入度为0，则把该顶点加入到栈中
            }
        }

       int res =  (count < gl->numVertexes) ? -1 : 1;      //  如果最后遍历到的个数小于图的总定点数，则说明有环存在，返回-1
        return res;
    }

关键路径

一. 概念
拓扑排序是解决一个工程能否顺序进行的问题，

当需要计算一个工程完成的最短时间，就需要用关键路径。

拓扑排序使用的是AOV网（定点表示活动）。关键路径使用AOE网（边表示活动）。AOV网只能表示活动之间的制约关系，而AOE网可以用变得权值表示活动的持续时间。所以AOE网是建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础上，再来分析整个工程需要多少时间。

路径长度：路径上各个活动持续的时间之和
关键路径：从源点到汇点具有的最大长度的路径
关键活动：关键路径上的活动

二. 关键路径算法
关键路径算法中需要的变量
（1）事件最早开始时间etv（earlist time of vertex）：顶点vk
的最早发生时间
（2）事件最晚开始时间ltv（latest time of vertex）：顶点vk的最晚发生时间，超过此时间，会延误整个工期
（3）活动最早开始时间（earlist time of edge）：弧ak的最早发生时间
（4）活动最晚开始时间（latest time of edge）：弧a
的最晚发生时间，就是不推迟工期的最晚开始时间

int *etv,*ltv;      /* 事件最早,最晚发生时间 */
int *stack2;        /* 用于存储拓扑排序的栈 */
int top2 = 0;        /* stack2的栈顶指针 */

int topologicalSort2(GraphAdjList gl){
    int *stack = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int));    /* 建栈将入度为0的顶点入栈 */
    int top = 0;
    for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i) {
        if(0 == gl->adjList[i].in)
            stack[++top] = i;
    }

    etv = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int));     /* 时间最早开时间数组 */
    for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i)                          /* 初始化最早开始时间数组全0 */
        etv[i] = 0;

    int count = 0;
    stack2 = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int));
    while (top !=0 ){
        int gettop = stack[top--];
        count ++;
        stack2[++top2] = gettop;              /* 将弹出的顶点序号压入拓扑排序的栈 */

        for (EdgeNode *e = gl->adjList[gettop].firstEdge; e ; e = e->next) {
            int k = e->adjvex;
            if( !(-- gl->adjList[k].in) )
                stack[++top] = k;
            if( (etv[gettop] + e->weight) > etv[k] )    /* 求各点事件最早发生时间值 */
                etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
        }
    }

    if(count < gl->numVertexes)
        return -1;
    else
        return 1;
}

void criticalPath(GraphAdjList gl){
    topologicalSort2(gl);
    ltv = (int *) malloc (gl->numVertexes * sizeof(int));     /* 事件最晚发生时间 */
    for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i)
        ltv[i] = etv[gl->numVertexes -1];                                /* 初始化ltv */

    int k;
    while(top2 != 0){
        int gettop = stack2[top2--];
        for(EdgeNode *e=gl->adjList[gettop].firstEdge ; e ; e=e->next){
            k = e->adjvex;
            if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
                ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
        }
    }

    for (int j = 0; j < gl->numVertexes; ++j) {
        for (EdgeNode *e = gl->adjList[j].firstEdge; e ; e = e->next) {
            k = e->adjvex;
            int ete = etv[j];                        /* 活动最早发生时间 */
            int lte = ltv[k] - e->weight;      /* 活动最迟发生时间 */
            if(ete == lte)
                printf("<v_%d , v_%d> length: %d",gl->adjList[j].data,gl->adjList[k].data,e->weight);
        }
    }
}

最短路径

一. 迪杰斯特拉

迪杰斯特拉算法
（1）迪杰斯特拉，计算的是一个点到其余所有点的最短路径。
（2）它的基本思想：
如果点 i 到点 j 的最短路径经过k，则ij路径中，i到k的那一段一定是i到k的最短路径。

查找方法：
（1）声明2个一维数组：一个用来标识当前顶点是否已经找到最短路径。另一个数组用来记录v0到该点的最短路径中，该点的前一个顶点是什么。
（2）比较：计算v0

到vi的最短路径时，比较v0vi与v0vk+vkvi的大小，而v0vk与vkvi的值是暂时得出的记录在数组中的最短路径。
算法实现：基于邻接矩阵

    #include "graphy/graphy.c"   // 邻接矩阵
    #define MAXVEX 9
    #define INFINITY 65535
    typedef int Pathmatrix[MAXVEX];             //存储最短路径下标的数组
    typedef int ShortPathTable[MAXVEX];     //存储到各点最短路径的权值和

    /**
     * 迪杰斯特拉：求有向图G的V[0]到其余各点的最短路径及带权长度
     * @return
     */
    void shortestPath_Dijkstra(MGraphy *g,int v0,Pathmatrix *p,ShortPathTable *sptable){
        int final[MAXVEX] = {0};
        *p = {0};   // 初始化最短路径数组为0
        for (int i = 0; i < g->vnum; ++i)
            (*sptable)[i] = g->arc[v0][i];   //初始化sptable：让最短路径为图中v0和其余各顶点的权值

        (*sptable)[v0] = 0;     // sptable记录v0到v0的权值为0
        final[v0] = 1;               // final数组，记录以求得v0到v0的最短路径

        /* 每次循环求得v0到顶点v的最短路径 */
        for (int i = 0; i< g->vnum ; ++i) {
            int min = INFINITY;
            int k;
            for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) {   // 循环每个顶点
                if(! final[j] && (*sptable)[j] < min){
                    k = j;                                     // 这个k只是把j的作用域扩大出去，供后面计算a
                    min = (*sptable)[j];              // 让min=当前被遍历顶点与v0点的边的权值
                }
                final[k]  = 1;
                for (int w = 0; w < g->vnum ; ++w) {
                    int a = min+g->arc[k][w];     // 上面让k=j，所以a=(*sptable)[j] + g->arc[j][w]。也就是：比如计算a0到a2，就比较a0a1+a1a2 与邻接矩阵中的a0a2边的权值
                    if(! final[w] && a < (*sptable)[w]) {
                        (*sptable)[w] = a;
                        (*p)[w] = k;                      // 这个k就是:假设该等式角标与程序无关，计算 a[i][j] > a[i][k]+a[k][j]，记录i到j的最短路径中，j前面的节点
                    }
                }
            }
        }
    }

二. 弗洛伊德算法

弗洛伊德与迪杰斯特拉的区别
（1）它们都是基于比较v0vi与v0vk+vkvi的大小的基本算法。
（2）弗洛伊德三次循环计算出了每个点个其他点的最短路径，迪杰斯特拉算法用2次循环计算出了一个点到其他各点的最短路径。
（3）如果要计算出全部的点到其他点的最短路径，他们都是O(n2)

    typedef int Pathmatrix_Floyd[MAXVEX][MAXVEX];             //存储最短路径下标的数组
    typedef int ShortPathTable_Floyd[MAXVEX][MAXVEX];     //存储到各点最短路径的权值和
    void shortPath_Floyd(MGraphy *g,Pathmatrix_Floyd *p,ShortPathTable_Floyd *D){
        for (int i = 0; i < ; ++i) {
            for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) {
                (*D)[i][j] = g -> arc[i][j];
                (*p)[i][j] = j;
            }
        }
        for (int i = 0; i < g->vnum; ++i) {
            for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) {
                for (int k = 0; k < g->vnum; ++k) {
                    if((*D)[j][k] > (*D)[j][i]+(*D)[i][k]){
                        (*D)[j][k] = (*D)[j][i]+(*D)[i][k];
                        (*p)[j][k] = (*p)[j][i];
                    }
                }
            }
        }
    }

图--Data strcture

图与线性表、树的区别

名词解释：

图（Graph）

边=1/2n(n-1)的无向图称为完全图

边<n logn为稀疏图，反之为稠密图（sparse graph,Dense graph)

度

公式：总边数=1/2总度数

路径

连通分量

图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

图的遍历

深度优先遍历&广度优先遍历

深度优先遍历(DFS)

广度优先遍历（BFS）

最小生成树

最小生成树的概念

普里姆算法

克鲁斯卡尔算法

对两个算法的总结：

拓扑排序

关键路径

最短路径

一. 迪杰斯特拉

二. 弗洛伊德算法

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边=1/2n(n-1)的无向图称为 完全图

边<n logn为稀疏图，反之为稠密图（sparse graph,Dense graph)

度

公式：总边数=1/2总度数

路径

连通分量

图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

图的遍历

深度优先遍历&广度优先遍历

深度优先遍历(DFS)

广度优先遍历（BFS）

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克鲁斯卡尔算法

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