形态学算法

作者: 此间不留白 | 来源:发表于2020-05-20 22:58 被阅读0次

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形态学算法
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灰度形态学基本运算
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形态学滤波

上海交通大学医学图像处理技术

形态学的二值运算

形态学二值运算包括膨胀，腐蚀，开运算和闭运算基本方法，如下图所示，膨胀运算和闭运算的效果总体上对图像而言是一个区域增长的过程，而腐蚀和开运算是一个区域减少的运算。

Hit and Miss

Hit and Miss 算法中文称之为“击中击不中变换”，其数学表达式如下所示：

$F \otimes K=(F \ominus K_1) \cap(F^c \ominus K_2)^c$
$其中 K_1 \cap K_2 = \oslash ,且 K_1 \in K,K_2 \in K$

以上计算方式可以认为是对前景进行腐蚀运算，再对背景进行腐蚀运算，最后再求交集，得到Hit and Miss的结果，其运算结果如下所示：

这是一个在前景上fit，背景上Miss的过程，可以用来求取图像上的一些边缘点，顶点或者是一些孤立点，如下图所示，通过Hit and Miss算法能够得到齿轮的顶点。

Hit and Miss算法的实现过程可以分为以下几个步骤：

以原点为中心，将原图像和SE(Structure Element,结构化要素)进行叠加；
比较被SE覆盖的原图像的像素点和SE的像素点进行比较：
- 如果SE的前景和背景的像素点和被SE覆盖的原图像的前景和背景的像素点match，则将被SE所覆盖的原图的像素点设置为前景颜色；
- 如果这些像素点之间不match，则将被SE所覆盖的原图像的像素点设置为背景色。

如下图所示，利用四个表示左上角，右上角，左下角和右下角的SE对原图进行Hit and Miss运算，可以实现一个角度检测的功能。

Pattern Spectrum

Pattern Spectrum用来描述粒度尺寸的密度情况，简单来说，也就是表示图像中物体尺寸的分布情况。
对于图像 $F$ ,利用一系列大小不同的SE（记为 $r_ik$ ）求取Pattern Spectrum（记为 $PS_{r_ik}(F)$ ）的表达式，如下所示：

$PS_{r_ik}(F) = \left\{\begin{matrix} &Card((F \circ r_iK) - (F \circ r_{i+1} K)) \ \ \ if \ \ \ i>0\\ &Card((F \bullet r_{-i}K) - (F \bullet r_{-i-1} K)) \ \ if \ \ \ i<0\\ \end{matrix}\right.$

其中Card表示对当前物体尺寸的数量进行计数。

Pattern Spectrum的计算过程可以描述为以下几个步骤：

对原图像以合适的SE大小进行开运算；
将原图像与SE进行开运算的图像进行相减，得到一个尺寸转换距离（Distance Size Transformation，DST）；
在二值图像中，计算物体像素的数量，在灰度图像中，将所有的灰度值相加；
将以上求得的数量放在Pattern Spectrum所对应的第 $n$ 个Spectrum中。（ $n 从0开始$ ）；
将开运算之后得到的图像作为新的原始图像，同时 $n$ 增加1，重复以上四个步骤。

注意：上述步骤的循环过程中，随着 $i$ 的增加，结构化元素SE的尺寸也会随之扩展，这意味着图像中尺寸较小的目标将会在初始阶段被过滤，而随着SE的扩张，图像中尺寸越来越大的目标也会逐渐消失。

最后，当图像中的所有尺寸的目标都被抹去时，停止整个计算过程。

Pattern Spectrum的应用实例如下所示，可以看出，对一个包含不同大小目标的图像而言，随着Pattern Sperctrum过程，利用尺寸不断扩展的SE进行开运算，图像中的物体会根据尺寸大小的不同被逐渐抹去。

最后，通过Pattern Spectrum可以得到图像中不同尺寸目标的分布情况，如下图所示：

Pattern Spectrum不仅可以用来分析图像中不同尺寸目标的分布情况，而且还可以用来分析目标的形状，如下图所示，数字“3”和“5”在形状上具有相似性，所以其Pattern Spectrum的波形也具有相似性。

Recursive Dilation

对一副图像进行多次dilatio的过程称之为recursive dilation，其定义如下所示：

将结构化要素定义为Recursive Dilation 的base
Rescursive Dilation会构造一系列形状相同，尺寸不同的SE
如下图所示，用菱形和正方形的SE分别进行Recrusive Dilation会形成形状相同，大小不同的一系列SE，而利用菱形和正方形的SE交替地进行Recursive Dilation 会得到一个近似圆形的SE.

Recursive Erosion

与Recursive Dilation 相对应的一种形态学算法是Recursive Erosion，对一副图像实现递归腐蚀的算法，其数学定义公式如下：

当对图像中的目标实现Recursive Erosion时，目标的尺寸会逐渐减小，直到完全消失。

Recursive可以用来实现图像分割，如下图所示，对一副图像执行Recursive Erosion时，图像的中的目标会逐渐缩小，相连的区域会逐渐分离。

Distance Transform

对一副二值图像Rescursive Erosion，每一次Erosion都会抹去图像中的一些像素点，按照Rescursive Erosion的操作，将每次通过Erosion抹去的像素点标记为Erosion的次数，则可以将二值图像转换为灰度图像，此过程被称之为Distance Transform，具体如下图示例所示：

为了更加直观地理解Distance Transform的过程，整个Distance Transform的过程如下图所示：

Distance Metrics

按照SE的不同，Distance Metrics可以分为以下三类：

Euclidean Distance
$D_{Euclid} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
可以很容易的看出，Euclidean Distance 的公式跟圆有关，所以Euclidean Distance的SE是一个圆形结构。
City Block Distance( $N_8$ )
$D_{City} = |x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

City Block Distance的实现，可以从公式中看出，用到了矩形的SE，也就是一个8领域SE，其实现效果如下：

Chessboard Distance( $N_4$ )
$D_{chess} =\max(|x_2-x_1|,|y_2-y_1|)$
也可以看出，Chessboard Distance的SE结构是菱形，是一个4邻域关系，其实现效果如下图所示：

一些DIstance Transform的效果图如下图所示：

Skeleton

通过上述 Distance Transform的效果图可以看出，通过Distance Transform的转换，得到的效果图中，距离图像边缘最远的点，中间会形成一条近似于白色的线，这些白色的线，在形态学中，被定义为Skeleton，如下图所示：

完全拟合前景区域内的双切圆中心的轨迹形成的Skeleton，也可以看作是距离图像边缘最远处的点构成的拓扑

Skeleton 是一个不断减去二值图像中前景的过程，此过程保留前景区域拓扑结构（范围和连通性）的同时，丢弃掉大部分原始区域的前景像素。

Skeleton的实现，用数学公式可以描述为一下两个步骤：

根据所选SE的大小，得到一系列Skeleton的子集
$S_i(F)=(F \ominus r_iK)-[(F \ominus r_iK) \circ K] \ \ 其中， i=0,1,2…,n$
其中， $r_iK$ 表示一系列尺度不同的SE
对得到的一系列SKeleton子集进行求并集：
$S(F) = \bigcup_{i=0}^{n}S_i(F)$

通过Erosion可以得到一副图像的Skeleton，那么，如果知道Skeleton过程中的一系列 $r_iK$ 和Skeleton子集 $S_{i}(F)$ ，那么通过与Erosion相反的运算Dilation，可以将Skeleton恢复成原图，这一过程称之为 Skeleton Reconstruction其数学定义如下图所示：
$F = \bigcup_{i=0}^{n}S_i(F) \oplus r_iK$
为了更形象地理解 Skeleton和Skeleton Reconstruction 的实现过程，有如下示例：

如上图，通过Distance Transform可以得到图像中关于像素的一组局部8领域最大值（局部最大值），只要将这些局部最大值提取出来，就得到了原图的Skeleton

而将Skeleton 恢复成原图的过程，可以用下图表示

如上图，Skeleton Reconstruction的过程与求Distance Transform的过程想反，可以表述为，先对SE的size为3的像素点进行Dilation，再对SE的size为2的像素点进行Dilation，最后对SE的size为1的点进行Dilation，最后实现Skelton Reconsturction

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