笔记说明

在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“ARIMA Modeling with R”课程 做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。
学习的课程为“ARIMA Modeling with R”，主要用astsa包。
如无特殊说明，笔记中所使用数据均来自datacamp课程
ARIMA模型没比ARMA模型多多少知识点，因此本次笔记以一个真实数据练习为主，分析过程中附带一些在ARMA模型笔记中没有提到的内容。

ARIMA模型介绍

在ARMA模型的基础上加上差分就是ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model）了，如果某时间序列的d阶差分符合ARMA（p,q），那么原时间序列符合ARIMA(p,d,q)。

真实数据练习-全球变暖

astsa包中自带的globtemp数据包含1880-2015年间每年的全球平均陆地-海洋温度偏差（与1951-1980年均值相比）
原始数据及其一阶差分情况如下：

差分后的数据消除了长期趋势，有点像平稳序列了。

通过ACF和PACF图尝试定阶：

# Plot the sample P/ACF pair of the differenced data 
acf2(diff(globtemp))

对于差分后的ACF和PACF的结果，可以有以下解读：

1. ACF和PACF均拖尾，可以考虑ARIMA(1,1,1)模型
2. ACF在lag为2处截尾，PACF拖尾，因此可以考虑ARIMA(0,1,2)模型
3. ACF拖尾，PACF在lag为3处截尾，可以考虑ARIMA(3,1,0)模型。虽然这个模型拟合的也还可以，但实际上是三个模型中表现最差的。对于数据展示出来的比较小的自相关性它用了过多的参数。为节约篇幅我们就把这个模型忽略了。

拟合第一个模型：

# Fit an ARIMA(1,1,1) model to globtemp
sarima(globtemp,1,1,1)

参数估计结果：

	Estimate	SE	t.value	p.value
ar1	0.3549	0.1314	2.7008	0.0078
ma1	-0.7663	0.0874	-8.7701	0.0000
constant	0.0072	0.0032	2.2738	0.0246

sigma^2估计值为0.009885
自由度132
AIC -3.572642
BIC -4.508392
残差分析图：

拟合第二个模型：

# Fit an ARIMA(0,1,2) model to globtemp
sarima(globtemp,0,1,2)

参数估计结果：

	Estimate	SE	t.value	p.value
ma1	-0.3984	0.0808	-4.9313	0.0000
ma2	-0.2173	0.0768	-2.8303	0.0054
constant	0.0072	0.0033	2.1463	0.0337

sigma^2估计值为0.00982
自由度132
AIC -3.579224
BIC -4.514974
残差分析图：

模型选择

两个模型的参数估计结果均有统计学意义，残差分析图也都显示模型均是合理的（reasonable）。根据AIC和BIC的结果，可能ARIMA(0,1,2)模型更好一些。
另外，forecast包的auto.arima()函数可以自动尝试不同阶数组合模型并建模，也可以帮助我们定阶。auto.arima()的相关内容见：时间序列笔记-auto.arima()自动定阶

通过模拟过拟合进行模型诊断

除了残差分析以外，还可以通过模拟过拟合(overfitting)来对建立的模型进行诊断：在建立的模型基础上添加额外的参数，看新的拟合结果。如果模型的参数估计等产生了很大的变化，则需要再考虑；如果模型结果没有发生大变动，那么可以比较肯定之前的模型是正确的。（我理解就是检查是否欠拟合吧）
我们在ARIMA(0,1,2)的基础上加一个参数，尝试ARIMA(0,1,3)模型的拟合效果：

# Fit an ARIMA(0,1,3) model to globtemp. 
sarima(globtemp,0,1,3)

参数估计结果：

	Estimate	SE	t.value	p.value
ma1	-0.3760	0.0929	-4.0458	0.0001
ma2	-0.2115	0.0779	-2.7157	0.0075
ma3	-0.0464	0.0865	-0.5370	0.5922
constant	0.0072	0.0032	2.2574	0.0256

sigma^2估计值为0.009798
自由度131
AIC -3.566741
BIC -4.481074
残差分析图：

可以看出ma1 ma2的参数估计值变化不大，新加的ma3并没有统计学意义，AIC BIC增大。标明原来的ARIMA(0,1,2)模型并没有欠拟合。

用ARIMA模型进行预测

可以用astsa包的sarima.for(data, n.ahead, p, d, q)函数进行ARIMA建模后的预测。n.ahead参数指定往后预测几个时间单位的值。函数会输出对应预测值及其标准误和图像，图像中黑色表示已有数据，红色表示预测值，还会显示预测值加减1倍标准误的预测区间和加减2倍标准误的预测区间。

# Forecast data 35 years into the future
sarima.for(globtemp,n.ahead=35,0,1,2)