蒙特卡罗方法

关于蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种计算机仿真方法，起源于“曼哈顿计划”，名字来源于著名的赌城 - 摩纳哥的 MonteCarlo。

该方法主要是基于“随机数”来解决问题。

原理和实施过程

原理

其原理是利用计算机产生大量符合规则的随机数 M，然后查看落在目标中的随机数个数 N,通过 N/M 这个值来评估所需要的结果。

实施过程

• 分析问题，构造或描述出一个可以使用随机数的数学模型
• 利用计算机产生（大量）各种概率分布的随机数
• 从这大量的随机数中统计模型的数字特征，得到模拟解

应用

按照实际应用方向，有求面积、求积分、分析概率分布、物理方面的统计等等。但是抽象出来，都可以转换为长度（一维）、面积（二维）、体积（三维）…这些数学问题。而且随着维度的增加，不会出现计算难度（量）几何增长的问题。

例如均匀分布的概率就可以转为二维坐标系中求面积的问题，非均匀分布的概率可以转换为三维坐标系中求体积的问题。

一个示例

问：计算两条抛物线 y=x² ，x=y² 所围成的图形的面积？

首先我们先使用计算机绘制出这条抛物线的图像

MonteCarlo.png

两条抛物线的交点分别是[0,0],[1,1]，可以构成一个矩形.

所以我们使用计算机的（伪）随机函数在这个矩形随机均匀产生100000个点。然后统计（y <= sqrt(x) & y >= x^2）的点得个数 N. 然后多组仿真的模拟结果大概是0.333左右。</p>

而使用定积分∫[0,1]（√x - x²)dx 计算的结果是1/3，与仿真结果很接近。