哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下想法：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和；任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。至今仍没人能证明，最接近成功的是陈景润的证明。
费马猜想
又称《费马大定理》或《费马问题》，1637年由法国数学家费马提出，若用不定方程来表示，费马大定理即当整数n>2时，关于x,y,z的方程x+y=z没有正整数解。剑桥大学怀尔斯在1995年彻底解决了这一大难题。
四色猜想
1852年，弗南西斯·格思里在给地图着色时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
蜂窝猜想
4世纪古希腊数学家佩波斯提出：人们所见到的、截面成六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想被称为蜂窝猜想。匈牙利数学家陶斯巧妙地证明在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的，但他没有证明如果多边形的边是曲线时的情况；黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。
角谷猜想
大家一起来做一个游戏：每个人可以从任何一个正整数开始，连续进行如下运算，若是奇数，就把这个数乘以3再加1；若是偶数，就把这个数除以2。这样演算下去，直到第一次得到1才算结束。是不是每一个正整数按这样的规则演算下去都能得到1呢？这就是角谷猜想，也叫《叙古拉猜想》。
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