PS：看起来简书好像不支持MathJax，文章中的数学公式都没渲染出来，大家将就点看吧...
决策树学习是以实例为基础的归纳学习，它从一类无序、无规则的事物（也就是概念）中推理出决策树表示的分类规则。
决策树
所谓决策树就是一棵表示“怎么做决定”的树。比如你现在考虑是否要去跑步，那么你也许会以这样的顺序来考虑：
- 天气怎么样？如果下雨我就不去了；不下的话，我再考虑考虑。
- 我状态怎么样？如果良好就出发吧，不然就算了吧。
如果将上面这个考虑（做决定）过程转化为一棵决策树，它会是下面这个样子的：
DecisionTree.png
注意上面列出的两个点之间是有优先级的，第一点显然是我们先考虑的。好的决策树的层次就表现了良好优先级，在顶层的属性（如“天气”），其决策优先级要高，这也意味着这一属性是可以最快导出结果的。
上面例子的决策树碰巧是一棵二叉树，实际上决策树可以是任意多叉的。
决策树学习
决策树学习采用的是自顶向下的递归方法，决策树的每一层结点依照某一属性值向下分为子结点，待分类的实例在每一结点处与该结点相关的属性值进行比较，根据不同的比较结果向相应的子节点扩展，这一过程在到达决策树的叶结点时结束，此时得到结论。
从根结点到叶结点的每一条路径都对应着一条合理的规则，规则间各个部分（各个层的条件）的关系是合取关系。整个决策树就对应着一组析取的规则。决策树学习算法的最大优点是，它是可以自学习的。
在学习的过程中，不需要使用者了解过多背景知识，只需对训练例子进行较好的标注，就能够进行学习。如果在应用中发现不符合规则的实例，程序会询问用户该实例的正确分类，从而生成新的分支和叶子，并添加到树中。
决策树学习相关定义
决策树学习算法是以信息熵为基础的。
下面是一些相关的定义：
自信息量
设信源$X$发出$a_i$的概率为$p(a_i)$，在收到符号$a_i$之前，收信者对$a_i$的不确定性定义为$a_i$的自信息量$I(a_i)$。其中，
$$I(a_i) = -{log}_2\ p(a_i)$$
信息熵
自信息量只能反映符号的不确定性，而信息熵用来度量整个信源整体的不确定性，定义为：
$$ H(X) = p(a_1)I(a_1) + p(a_2)I(a_2) + ··· + p(a_r)I(a_r) = -\sum_{i = 1}^r p(a_i)\ {log}_2\ p(a_i)$$
条件熵
设信源为$X$，收信者收到信息$Y$，用条件熵$H(X|Y)$来描述收信者在收到$Y$后对$X$的不确定性估计。设$X$的符号$a_i$，$Y$的符号$b_j$，$p(a_i|b_j)$为当$Y$为$b_j$时，$X$为$a_i$的概率，则有：
$$H(X|Y) = -\sum_{i = 1}^r\sum_{j = 1}^s p(a_i|b_j)\ {log}_2\ p(a_i|b_j)$$
平均互信息量
平均互信息量用来表示信号$Y$所能提供的关于$X$的信息量的大小，用$I(X, Y)$表示：
$$ I(X, Y) = H(X) - H(X|Y)$$
决策树的构建
构建一棵决策树要解决4个问题：
- 收集待分类的数据。这些数据的所有属性应该是完全标注的。
- 设计分类原则。即数据的哪些属性可以被用来分类，以及如何将该属性量化。
- 分类原则的选择。即在众多分类准则中，每一步选择哪一准则使最终的树更令人满意。
- 设计分类停止条件。实际应用中数据的属性很多，真正有分类意义的属性往往是有限几个，因此在必要的时候应该停止数据集分类，这些准则包括：
- 该结点包括的数据太少不足以分裂；
- 继续分裂数据集对树生成的目标没有贡献；
- 树的深度过大不宜再分。
通用的决策树分裂目标是整棵树的熵总量最小，每一步分裂时，选择使熵减小最小的准则，这种方案使最具分类潜力的准则最先被提取出来。
构建流程大致如下图所示：
HowToBuildADecisionTree.png
ID3算法C++实现
ID3算法将信息熵的下降速度作为属性选择标准。
按照上一节提到的构建过程，我们以一个例子来说明具体如何应用ID3来构建决策树。
案例
现有某流感训练数据集，预定义两个类别：患流感和不患流感。其数据集如下所示：
Samples.png
构建过程
按照前面的流程图，第一步骤是计算各个属性的条件熵。条件熵的求取又依赖到信息熵，因此先讲述如何手算条件熵。
对于上面的例子，属性“体温”的条件熵的计算过程为：
- 分别计算每个值的信息熵，有
$$ H(体温{=正常}) = 0$$
$$ H(体温{=高}) = -{2\over3}log_2{2\over3} - {1\over3}log_2{1\over3} = 0.918296 $$
$$ H(体温_{=很高}) = 0$$ - 求条件熵
$$ H(样本集S|体温) = {2\over7} * H(体温{=正常}) + {3\over7} * H(体温{=高}) + {2\over7}H(体温_{=很高}) = {2\over7}0 + {3\over7}0.918296 + {2\over7}0 = 0.393555 $$
由于属性”体温“取“正常”或“很高”时，其结论均是单一的（一边倒），因此其信息熵为零（$log\ 1 = 0$嘛）。而当取“高”时，有3个样本，这3个样本中有两个结论是“患流感”，另一个是“不患流感”，因此其信息熵不为零。
对于其他的属性，同理可求得：
$$ H(样本集S|头痛) = 0.857143 $$
$$ H(样本集S|肌肉痛) = 0.97925 $$
由于“体温”的条件熵最小，因此决策树的第一个结点应该选用“体温”作为判断属性。
最后生成的决策树如下所示：
Result.png
设计思路
设计样本文件内容格式
为了能够简单使用样本数据，可以将文件内容置为以下：
headache courbature temperature hasBirdFlu
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 2 1
1 0 1 1
第一行表出参与决策的属性以及结论。第二行到最后一行是样本数据，用数值来表达属性的取值。
属性列表、样本集的数据结构设计
得益于C++强大的容器库，可以使用 list 来表示这两个逻辑体:
struct Sample; // 代表一行样本数据
typedef std::list<Sample> Samples; // 样本集类型
...
typdef std::string Attribute; // 代表一个属性
typdef std::list<Attribute> Attributes; // 属性列表类型
决策树的数据结构设计
决策树本身是一棵树，而树的表示方式有好几种。简单起见，选择孩子兄弟表示法，即每棵树的根结点拥有一个指向其第一个孩子（即第一棵子树）和一个指向其兄弟（即其父亲的下一棵子树）的指针。
为了方便看出结点的决策，可以选用“(属性，属性值；结果)”这一格式来表示一个结点的内容，其中，根节点为空，内部结点没有“结果”项。
信息熵的求取
信息熵的求取涉及到属性的取值，以及属性取该值时的结论分布。下面的函数就是用于求取某一个属性取特定值时的信息熵，过程中的GetValueCntOfAttr()求取该属性取特定值时的样本个数（如“温度”取“正常”时有2个样本），GetTrueCntForValueOfAttr()求取该属性性取特定值时，结论为真的个数（如“温度”取“正常”时有0个为真的结论）：
double CalcEntropyOf(const Samples& samples,
const Attribute& attr,
double attrValue)
{
double total = GetValueCntOfAttr(samples, attr, attrValue);
double trueResult = GetTrueCntForValueOfAttr(
samples, attr, attrValue);
// all has the same value
if(total == trueResult || trueResult == 0)
return 0;
double trueRate = trueResult / total;
double entropy = -(trueRate * log2(trueRate)) -
((1 - trueRate) * log2(1 - trueRate));
return entropy;
}
条件熵的求取
求一个属性的条件熵，需要先求出其各个取值的信息熵，然后根据求取条件熵的公式求取该属性的条件熵即可。注意过程中的GetValueTypeCntOfAttr()求取属性的值种类（如“温度”有3个取值类型）：
double CalcConditionalEntropyOf(const Samples& samples,
const Attribute& attr)
{
// calculate conditional entropy
size_t valueTypeCnt = GetValueTypeCntOfAttr(samples, attr);
double total = samples.size();
double conditionalEntropy = 0;
for(size_t value = 0; value != valueTypeCnt; ++value) {
conditionalEntropy += GetValueCntOfAttr(samples, attr, value)
/ total *
CalcEntropyOf(samples, attr, value);
}
return conditionalEntropy;
}
决策树的生成
DecisionTree* GenerateDecisionTree(const Samples& samples,
const Attributes& attributes,
const DecisionNode& root)
{
if(attributes.empty()) {
DecisionTree* tree = new DecisionTree(root);
return tree;
}
DecisionTree* tree = new DecisionTree(root);
const Attribute bestAttr = FindBestAttribute(samples, attributes);
const size_t valueTypeCnt = GetValueTypeCntOfAttr(
samples, bestAttr);
for(size_t value = 0; value != valueTypeCnt; ++value) {
double entropy = CalcEntropyOf(samples, bestAttr, value);
if(entropy == 0) { // already know the decision
size_t trueCnt = GetTrueCntForValueOfAttr(
samples, bestAttr, value);
size_t decision = trueCnt > 0 ? 1 : 0;
DecisionNode subTreeNode(DN_LEAF_TYPE, bestAttr,
value, decision);
DecisionTree* subTree = new DecisionTree(subTreeNode);
tree->addChild(subTree);
}else {
DecisionNode subTreeNode(DN_INNER_TYPE, bestAttr, value);
// generate new attribute list
Attributes newAttrs(attributes);
newAttrs.remove(bestAttr);
// generate new Samples
Samples newSamples = GenerateSamplesByAttrValue(
samples, bestAttr, value);
DecisionTree* subTree = GenerateDecisionTree(
newSamples, newAttrs, subTreeNode);
tree->addChild(subTree);
}
}
return tree;
}
总结
如果你懂得了怎么手动进行这一过程，那么你离编码实现也不远了。
完整的程序代码我已经放到了github上：ID3-Implement。由于能力有限，不免出错。如果您发现了错误，请一定联系我！
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