如果我们想找一个最好的function，我们就需要optimization

 L：loss function     𝜃: parameters  来最小化 loss function       

接下来的步骤就是偏导数来迭代parameters，推到步骤就不写了，网上很多。

下面引用李宏毅老师的ML课件

注意：

其实这里要注意的就是gradient 就是切线的法向量，切线就是slope，如果slope为负值，那么每次迭代的parameter值就应该是增加的，如果slope为正， 那么每次迭代的parameter值就应该是减小的。

Tipe1：  Learning Rate

接下来说 Learning Rate 的设置问题：

1>  如果learning Rate 设置过小，那就会iteration很多次才可以得到想要的最小值，

2>  如果learning Rate 设置太大，很可能会就直接跨过我们想要的值。

下图黄线代表learning Rate设置过大，绿线较大，蓝线设置较小

如何解决这个问题呢？

在迭代的开始我们可以设置较大的learning Rate，随着迭代，我们缩小我们的learning Rate。

李宏毅老师给出一个方法叫做  Adagrad：

不同的参数我们设置不同learning Rate

g 是这个参数W的偏微分， 不同的参数 g 是不同的，从而导致learning Rate也不相同

但是 Adagrad 存在着矛盾

如何解释这个问题？

比如初始点在 x0，最低点为 −b/2a，最佳的步伐就是 x0 到最低点之间的距离 |x0+b2a|，也可以写成 |2ax0+b|/2a。而刚好 |2ax0+b| 就是方程绝对值在x0这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w1w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于a和b，结论1-1是成立的，同理c和b也成立。但是如果对比a和c，就不成立了，c比a大，但c距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离|2ax0+b|/2a，还有个分母 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：

所以这才是最好的步伐。

Tip2： Stochastic Gradient Descent

SGD 是看到一个样本就取一个样本出来，然后计算loss， 接着计算这一个样本的参数的GD

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Tip3：  Feature Scaling

假设函数有两个特征值(Feature) 函数方程为： y = b + w1x1 +w2x2

如果x1的值都比较小，x2的值都比较大，那么 x2 对于 y 的值影响很大

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w1 对y的变化影响比较小，所以 w1 对损失函数的影响比较小，w1对损失函数有比较小的微分，所以 w1 方向上是比较平滑的。同理 x2 对y 的影响比较大，所以 x2 对损失函数的影响比较大，所以在 x2 方向有比较尖的峡谷。

下图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率（如果这里有问题请参考MIT多变量微积分的课程：梯度，方向导数）

那如何做 Feature Scaling 呢？

上图每一列都是一个例子，里面都有一组feature。

对每一个维度i（绿色框）都计算平均数，记做m(i)；还要计算标准差，记做σ(i)。

然后用第r个例子中的第i个输入，减掉平均数mi，然后除以标准差σi，得到的结果是所有的维数都是0，所有的方差都是1

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Tip 4: Warning of Math

假设函数有两个参数，如果做才能找出最优的参数呢？

首先给定一个起始的点和Error Function，我个人认为是以这个点为圆心，在其附近画圆，在这个圆里面找出最低点。就是沿着等高线的切线方向移动（不明白可以参考MIT多变量微积分第8讲），接下来重复这个动作，

如何在红色的圆圈内找到可以使 loss Function 最小的参数呢？好吧，我认为超级难的 泰勒展开式

k代表微分的次数，如果 x 接近 x0 时候，上图后面的高次方就可以删掉。这个式子只考虑只有一个参数。

如果我们有很多的参数呢？？？？？

方法和第一个一样，只是倒数变成偏导数

回到第一个问题如何找到圆圈中的最优点呢？？

我们可以把loss Function 写成 泰勒展开式的 形式，然后把点（a，b）带进去，就得出常数值 u 和 v

接着就得出圆圈内的式子

泰勒展开式只考虑了一次式，如果考虑二次式，learning rate就会变的更好一些

GD的限制

GD经常卡在local minimun,或者 鞍点(saddle)