等价类和商集

对于集合 A上的元素，制造一个 笛卡尔积，可以把两个元素凑在一起这件事视为一个所谓的关系

很典型的如 整数集上的加法 ，总是需要有两个元素参与。现在先不考虑它的合成元是什么，光是凑在一起这件事，可以映射到 I × I ， 这里的 I 是整数集
还可以有很多二元关系的表述，比如

• 两个正整数相乘等于100， 是一种关系，我们可以找出所有这种组合
  

• 整数中除以 7 余数是 1 的的数可以表示成 , 那么 可以定义一种关系 表示 7 可以整除 只要是 的数，它们就构成这种关系

• 整数中两个数的差时偶数构成一种关系

一般我们把 集合中两个成员有关系记成
有些关系具有很好的结构和特性
像例子1 中，如果 那么也有 这是一种对称性

在例子 2 中，因为 对每个 有 即 有 这个有一个术语叫做反身性
同样是例子二 , 对任意的 如果 能被 7 整除， 也能被 7 整除， 那么

也能被 7 整除
即 如果 则有
这是传递性

一个关系 R 称为等价关系
如果R同时满足 反身性，对称性，和传递性

等价关系的三性是一种存在的描述，如果集合中有那种元素，则怎么样，没有就不是。
举个例子，二元集合 上有多少种关系？

由于关系就是 笛卡尔积的子集。
罗列$ A × A = {x, x}, {y, y}, {x, y},{y,x} $$ 每个子集构成一个关系

从等价关系可以定义出一个叫做商集的东西
符号表达成
, 是所有和x等价的元素构成的集和
即
比如例子 2，因为除 7 的余数可能情况只有 7种， 0，1,2,3,4,5,6
分别可以构成 7个等价类，简单把 记成 [i]
这些集合互不相交，并且任何整数都会是其中的一个集合
所以 整数在等价关系 R 的一个商集就是