对于集合 A上的元素,制造一个 笛卡尔积,可以把两个元素凑在一起这件事视为一个所谓的关系
很典型的如 整数集上的加法 ,总是需要有两个元素参与。现在先不考虑它的合成元是什么,光是凑在一起这件事,可以映射到 I × I , 这里的 I 是整数集
还可以有很多二元关系的表述,比如
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两个正整数相乘等于100, 是一种关系,我们可以找出所有这种组合
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整数中除以 7 余数是 1 的的数可以表示成 , 那么 可以定义一种关系 表示 7 可以整除 只要是 的数,它们就构成这种关系
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整数中两个数的差时偶数构成一种关系
一般我们把 集合中两个成员有关系记成
有些关系具有很好的结构和特性
像例子1 中,如果 那么也有 这是一种对称性
在例子 2 中,因为 对每个 有 即 有 这个有一个术语叫做反身性
同样是例子二 , 对任意的 如果 能被 7 整除, 也能被 7 整除, 那么
也能被 7 整除
即 如果 则有
这是传递性
一个关系 R 称为等价关系
如果R同时满足 反身性,对称性,和传递性
等价关系的三性是一种存在的描述,如果集合中有那种元素,则怎么样,没有就不是。
举个例子,二元集合 上有多少种关系?
由于关系就是 笛卡尔积的子集。
罗列$ A × A = {x, x}, {y, y}, {x, y},{y,x} $$ 每个子集构成一个关系
从等价关系可以定义出一个叫做商集的东西
符号表达成
, 是所有和x等价的元素构成的集和
即
比如例子 2,因为除 7 的余数可能情况只有 7种, 0,1,2,3,4,5,6
分别可以构成 7个等价类,简单把 记成 [i]
这些集合互不相交,并且任何整数都会是其中的一个集合
所以 整数在等价关系 R 的一个商集就是
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