1.  Schnorr Group

        选择一个大的素数p，那么整数 mod p就构成一个有限域，其中的非零元素构成一个阶为p-1的Abelian群。因为p是素数，则p-1是合数，所以p-1能够被分解为qr 的形式（即），其中q为素数。因为q会是Schnorr Group的阶，因此需要q足够大。

选择h使得成立，那么就是Schnorr Group的generator，为什么以g为generator的群会有order q呢？这是因为：

                                        

费马小定理。这表明了g的order或者是q或者是q的一个因数，但同时因为成立，并且q是素数不存在因数，因此g的阶必为q。

例子（python代码）：

from sympy import isprime

def pow_quick(a, b, c):

   return pow(a, b, c)

def schnorr_group():

   p,q, r, h = 23, 11, 2, 7

   assert(isprime(p))

   assert(isprime(q))

   assert(p-1 == q*r)

    g =pow_quick(h,r,p)

   assert(g!=1)

   assert(pow_quick(g, q, p) == 1)

   print('ok, g = ', g)   #找到一个generator

   initGroup = []

    fori in range(q):

       #print(pow_quick(g, i, p))

       initGroup.append(pow_quick(g, i, p))

   print(initGroup)

#验证，再Schnorr Group中，以任意一个element作为generator，群是不变的

   currGroup = []

    forx in initGroup:   

       if x == 1:

           continue

       for i in range(q):

           currGroup.append(pow_quick(x, i, p))   

       print(currGroup)

       currGroup= []

if __name__ == '__main__':

   schnorr_group()

执行结果：

ok, g = 3

[1, 3, 9, 4, 12, 13, 16, 2, 6, 18, 8]

[1, 3, 9, 4, 12, 13, 16, 2, 6, 18, 8]

[1, 9, 12, 16, 6, 8, 3, 4, 13, 2, 18]

[1, 4, 16, 18, 3, 12, 2, 8, 9, 13, 6]

[1, 12, 6, 3, 13, 18, 9, 16, 8, 4, 2]

[1, 13, 8, 12, 18, 4, 6, 9, 2, 3, 16]

[1, 16, 3, 2, 9, 6, 4, 18, 12, 8, 13]

[1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12]

[1, 6, 13, 9, 8, 2, 12, 3, 18, 16, 4]

[1, 18, 2, 13, 4, 3, 8, 6, 16, 12, 9]

[1, 8, 18, 6, 2, 16, 13, 12, 4, 9, 3]

2. Diffie-Hellman算法

        Diffie-Hellman算法中，核心的问题是算法所依赖的群的阶是一个素数。而我们通常的余数群，其中p为大于2的素数，那么其ord = p-1则必为偶数。因此，直接用作为Diffie-Hellman的群是不安全的。

        为解决这个问题，其中的思路是在内找到一个Schnorr Group是的子群，该子群满足存在素数q，使得成立。用我们前面的方法，就可以找到Schnorr Group的generator。