20181109 qzd
参考书目：《Supervised Sequence Labelling with Recurrent Neural Networks》 chapter7
CTC全称，Connectionist temporal classification，可以理解为基于神经网络的时序类分类。语音识别中声学模型的训练属于监督学习，需要知道每一帧对应的label才能进行有效的训练，在训练的数据准备阶段必须要对语音进行强制对齐。对于语音的一帧数据，很难给出一个label，但是几十帧数据就容易判断出对应的发音label。CTC的引入可以放宽了这种逐一对应的要求，只需要一个输入序列和一个输出序列即可以训练。CTC解决这一问题的方法是，在标注符号集中加一个空白符号blank，然后利用RNN进行标注，最后把blank符号和预测出的重复符号消除。比如有可能预测除了一个"--a-bb"，就对应序列"ab"，这样就让RNN可以对长度小于输入序列的标注序列进行预测了。RNN的训练需要用到前向后向算法（Forward-backward algorithm），大概思路是：对于给定预测序列，比如“ab”，在各个字符间插入空白符号，建立起篱笆网络（Trellis），然后对将所有可能映射到给定预测的序列都穷举出来求和。
CTC有两点好处：不需要对数据对齐和一一标注；CTC直接输出序列预测的概率，不需要外部的后处理。
在端到端的语音识别中有以下问题：
- 输入语音序列和标签（即文字结果）的长度不一致
- 标签和输入序列的位置是不确定的（对齐问题）
即长度问题和对齐问题，多个输入帧对应一个输出或者一个输入对多个输出。
1. Background
连接主义时间分类（CTC）通过允许网络在输入序列中的任何点进行标签预测来实现这一点，只要标签的整个序列是正确的即可。 这消除了对预分段数据的需要，因为标签与输入的对齐不再重要。 此外，CTC直接输出完整标签序列的概率，这意味着不需要外部后处理来将网络用作时间分类器。
2. 结构
系统可以通过双向rnn进行建模。RNN用来训练得到每个时刻不同音素的概率分布。
输入：按时序输入的每一帧的特征。
输出：每一个时刻的输出，是一个softmax，表示K+1个类别的不同概率，K表示音素的个数，1表示blank。（分类问题，是某个音素or空白）
对于给定时序长度为T的输入特征序列和任意一个输出标签序列π={π1,π2,π3,….,πT}。输出为该序列的概率为每个时刻相应标签的概率乘积：
把上式中的pr概率写成y，就变为论文中的原始公式（y表示softmax输出的概率）：
3. 损失函数
因为输出序列和最后的训练标签一般不等长，我们用x表示输入序列，y表示对应的标签，a表示我们之前预测的序列：采用一个many-to-one的对应准则β（去除blank和重复），使上述的输出序列与给定的标签序列对应，比如（a,-,b,c,-,-）和（-,-,a,-,b,c）都映射成标签y（a,b,c）。
β^(-1)表示β的逆过程，即one-to-many，也就是把（a，b，c）映射成有重复和blank的所有可能，所以最终的标签y为给定输入序列x在LSTM模型下各个序列标签的概率之和：
所以给定一个输入序列x和一个标注l*，上式为给定输入x，输出序列为 l 的概率。LSTM的目标函数最大化上述概率值（最小化负对数）。
CTC的损失函数定义如下所示：
其中 p(z|x)代表给定输入x，输出序列 z 的概率，S为训练集。损失函数可以解释为：给定样本后输出正确label的概率的乘积，再取负对数就是损失函数了。取负号之后我们通过最小化损失函数，就可以使输出正确的label的概率达到最大了。
由于上述定义的损失函数是可微的，因此我们可以求出它对每一个权重的导数，然后就可以使用梯度下降、Adam等优化算法来进行求解。
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