2_1-3 导数

2_1-3 导数

作者: 最远的地方00 | 来源:发表于2020-03-07 23:58 被阅读0次

2_1-3 导数
高等数学公式1
用多个点来近似求导，并给出精度
吴恩达深度学习2.5-2.8
深度学习应用到的数学知识
【转】（3）高阶导数（第二章导数与微分）
导数，偏导数，导数方向，梯度
梯度下降和上升
机器学习的数学基础
机器学习数学基础复习

常数的导数为 0

$(3)' = 0$

$x^n$ 的导数为 $nx^{n-1}$

$(x^3)' = 3x^2$

个数的负次方即为这个数的正次方的倒数

$\frac {1} {x}$ = $x^{-1}$
$( \frac {1} {x} )'$ = $( x^{-1} )'$ = $-x^{-2}$ = $-\frac {1} {x^2}$

正弦函数的导数是余弦函数

$(sinx)' = cosx$

余弦函数的导数是负正弦函数

$(cosx)' = - sinx$

$a^x$ 导数 $a^x \ln a$

$(3^x) = 3^x \ln 3$
特殊的以e为底
$(e^x)' = e^x$

$\log a^x$ (a > 0, a ≠ 1) 的导数 $\frac {1} {x \ln a}$

$(\log a^x)' = \frac {1} {x \ln a}$

特殊
$(\ln x)' = \frac{1} {x}$

二、函数的求导法则

1、函数的和差积商求导法则

$[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)$

$[u(x) v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$[ \frac{u(x)} {v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {v^2(x)}$

三、复合函数求导

$\frac{d_y}{d_x} = f'(u)·g(x)$ 或 $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x}$

例1： $y = e^{x^3}$

$y = e^u , u = x^3$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = e^u · 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$

例2： $y = \ln sin x$

$y = \ln u , u = sinx$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = \frac{1}{u}· cosx = \frac{cosx}{sinx} = cotx$

例3: $y= \sqrt[3]{1-2x^2}$

$y = u^{\frac{1}{3}} , u =1-2x^2$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = \frac{1}{3}(1-2x^2)^{-\frac{2}{3}}·-4x = \frac{-4x}{ 3\sqrt[3]{(1-2x^2)^2} }$

高阶导数

例1 $y = ax+b$ 求 $y''$
$y' = a$ $y'' = 0$

例2 $y = \sqrt{2x-x^2}$ 求证 $y''y^3+1 = 0$
$y' = \frac{1}{2} \frac{1}{ \sqrt{2x-x^2}}·(2-2x) = \frac{1-x}{ \sqrt{2x-x^2}}$

$y'' = \frac{-\sqrt{2x-x^2} - (1 - x)\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}} {2x-x^2}$
$= \frac{-2x+x^2 - (1 - x)^2} {(2x-x^2)(\sqrt{2x-x^2})}$
$= -\frac{1}{(\sqrt{2x-x^2})^\frac{3}{2}} = -\frac{1}{y^3}$

正弦余弦n阶导数

幂函数的n阶导数

隐函数的导数

$y = sinx$ ， $y = \ln x$ ， $y = 3x+1$ 这种叫做显函数

$x + y^3 - 1 = 0$ 叫做隐函数

把隐函数化成显函数叫做 隐函数显化

$x + y^3 - 1 = 0$ 显化： $y = \sqrt[3]{1-x}$

例1 求方程 $e^y + xy -e = 0$ 所确定的隐函数的导数 $\frac{ d_y }{d_x }$
$y' = \frac{ d_y }{d_x }$
方程左边：
$e^yy' + x'y + xy' + e' = e^y \frac{ d_y }{d_x } + y + x \frac{ d_y }{d_x }$

方程右边：
$0' = 0$

$e^y \frac{ d_y }{d_x } + y + x \frac{ d_y }{d_x } = 0$

$\frac{ d_y }{d_x } = - \frac{y}{x+e^y}$

例2 求方程 $y^5 + 2y - x - 3x^7 = 0$ 所确定的隐函数在x = 0 处的导数 $\frac{ d_y }{d_x }\vert_{ x = 0}$
$5y^4\frac{ d_y }{d_x } + 2\frac{ d_y }{d_x } -1 - 21x^6 = 0$

$\frac{ d_y }{d_x } = \frac{1+21x^6}{ 5y^4+2 }$

因为当x = 0时原方程 y = 0
所以 $\frac{ d_y }{d_x }\vert_{ x = 0} = \frac{1}{2}$

扩展 (6-3_2隐函数求导)

$F_x = -1-21x^6$

$F_y = 5y^4+2$

$\frac{ d_y }{d_x } =- \frac{F_x}{F_y} = \frac{1+21x^6}{ 5y^4+2 }$

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