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#### 赵天啸  基科63  2016012258

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1.

  - 对有限维实系数线性空间$V$，我们称一组向量$a_1, a_2, \dots ,a_n$为$V$的一组**基**，若

    1. $a_1, a_2, \dots ,a_n$线性无关，即对$\forall (\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n) \in \R^n$，若$\sum_{i=1}^n \lambda_ia_i=0$，则$\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0$

    2. $V$中的任一向量$v$，都可以由$a_1, a_2, \dots ,a_n$线性表出。

  - 对一般实系数线性空间（无限维）$V$，我们称一组向量$a_1, a_2, \dots ,a_n, \dots$为$V$的一组**基**，若

  1. $ a_1, a_2, \dots ,a_n, \dots$线性无关，即对$\forall m \in \R$，满足对$\forall (\lambda_1, \lambda_2, \dots ,\lambda_m) \in \R^m$，$\forall (a_{(1)},a_{(2)}, \dots , a_{(m)}) \in (a_1, a_2, \dots ,a_n, \dots) $，若$\sum_{i=1}^{m} \lambda_ia_{(i)}=0$，则$\lambda_1 = \lambda_2= \dots = \lambda_m = 0$

  2. $V$中的任一向量$v$，都可以从$a_1, a_2, \dots ,a_n, \dots$中选出$\{a_{(1)},a_{(2)}, \dots, a_{(m)} \}$，使得$v$可以被$a_{(1)},a_{(2)}, \dots, a_{(m)}$线性表出。

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1.

  - 对有限维实系数线性空间$V$，若对$\forall x, y \in V$，存在实数$(x, y)$与之对应，且满足：

    1. $(x, y) = (y, x)$

    2. $ (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y ) = \lambda_1(x_1,y) + \lambda_2 (x_2, y )$，对$\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \R$，$ \forall x_1, x_2, y \in V$

    3. $(x,x) \geq 0$ ，当且仅当$x = 0$时等号成立

    则称实数$(x, y)$为$V$上的一个**内积**。

  - 对一般实系数线性空间（无限维）$H$，若对$\forall x, y \in H$，存在实数$(x, y)$与之对应，且满足：

    1. $(x, y) = (y, x)$

    2. $ (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y ) = \lambda_1(x_1,y) + \lambda_2 (x_2, y )$，对$\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \R$，$ \forall x_1, x_2, y \in V$

    3. $(x,x) \geq 0$ ，当且仅当$x = 0$时等号成立

    则称实数$(x, y)$为$H$上的一个**内积**。*（与有限维相同）*

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1. - 我们称$e_1, e_2,\dots ,e_n, \dots$为一个带内积的实系数线性空间$V$上的一组正交基，若其满足：

    1. 对$\forall i, j \in \R$且$i \not= j$，$<e_i, e_j> = 0$（$<e_i, e_j>$为$e_i, e_j$的内积）

    2. $ e_1, e_2, \dots ,e_n, \dots$线性无关（定义见第一题）

    3. $ e_1, e_2, \dots ,e_n, \dots$所张成的空间是$V$的一个稠密子空间

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1. （注：应假定${\alpha}$为“标准正交基”，否则对满足题意的任意$\alpha$, $\forall k > 0$，$k\alpha$同样满足题意，这与唯一性矛盾）

- 存在性：

  利用Schmidt正交化，可得到一组正交基$\mathbf A = \{\alpha_1, \dots , \alpha_n, \dots\}$满足要求，即：

  ​ 1. 对$\forall d \in \N^+$，$ span _{\R}\{\alpha_1, \dots ,\alpha_d\} = span_{\R} \{\beta_1 , \dots, \beta_d\}$

  ​ 2. 对$\forall i \in \N^+$，$<\alpha_i , \beta_i> = 1 > 0$

- 唯一性：

  若存在$\mathbf {A_1} = \{\alpha_{1,1}, \dots , \alpha_{1,n}, \dots\}, \mathbf {A_2}  = \{\alpha_{2,1}, \dots , \alpha_{2,n}, \dots\}$同时满足题意:

  ​ 令$d = 1$，易得$\alpha_{1,1} = \alpha_{2,1}$

  ​ 设对$\forall d =  1, ... ,n$，$\alpha_{1,d} = \alpha_{2,d} = \alpha_d$；则对$d' = n + 1$，

  ​ $ <\alpha_{1, d'} , \beta_{d'}> \  > 0$ 且 $<\alpha_{2, d'} , \beta_{d'}> \  > 0$

  ​ 所以 $\beta_{d'} = a \alpha_{1,d'} + K =b \alpha_{2,d'} + K' $，$ab \not = 0$，其中$K, K'$为$\{\alpha_1, ... , \alpha_d\}$ 的线性组合；

  ​ 由$d$维线性空间中正交基$\alpha$的性质可以立即得出：$\alpha_{1,d'} = \alpha_{2,d'} = \alpha_{d'}$

  ​ 因此，由数学归纳法可以得出，$\mathbf A_1 = \mathbf A_2 = \mathbf A$，唯一性得证。

  因此，原命题成立。

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1. （与4相同，认为唯一性不包括$\alpha_j(x)$前的常数系数）

  - 构造$\alpha_j(x) \in V$满足：

    - $\alpha_1(x) = \frac{1}{\sqrt2}$

    - $\alpha_{m+1}(x) = \sqrt{\frac{2m+1}{2}}\frac{1}{2^m \cdot m!} \frac{d^m}{dx^m}(x^2-1)^m$，$m \in \N^+$

    即Legendra多项式；

    ​ 利用课上已经给出的结论，我们知道$\alpha_j(x)$在$V$中符合正交基的定义，且对给定的$d \in \N^+$，$\alpha_d(x)$为$d-1$阶的核，其满足：$$\int_{-1}^1 \alpha_d(x) \cdot x^d dx \not= 0$$

    更进一步地，对$\forall d \in \N^+$：

    ​ 若$\int_{-1}^1 \alpha_d(x) \cdot x^d dx < 0$，令$\alpha_d'(x) = - \alpha_d(x)$；

    ​ 若$\int_{-1}^1 \alpha_d(x) \cdot x^d dx > 0$，令$\alpha_d'(x) =  \alpha_d(x)$；

    则$\{ \alpha_1'(x), ..., \alpha_n'(x), ... \}$即为题目所求。