在这段时间，我们探索了勾股定理。那下面，我来分享一下我们的探索历程。
我们会把勾股定理分成浪漫、精确、综合应用和未来发展四个板块。先来说一说，第一个板块——浪漫。我们也可以把它理解为对三角形的一个重温，并且要提出我们接下来探索的问题。
首先呢，我们要知道三角形的定义是什么？三条线段首尾相连围成的封闭图形叫三角形。那么，对于一个三角形会有哪些性质呢？当然有我们所知道的内角和为180度；三角形的一个外角度数等于这个角不相邻的两个角的度数和；两边之和和大于第三边和两边之差小于第三边。
对于直接三角形呢？它的角和边分别具有哪些性质？关于角有一个定义：一个角的度数为90度，其余两个角互余。关于边，就是斜边最长。
但是，如果你对于全等三角形很敏感的话，你会发现，我们刚开始判定的SSA不能判定三角形全等。但在直角三角形中，好像却也证明三角形全等，这是为什么？直角三角形的三边会不会有怎样的特殊数量关系呢？
我们会发现正方形的对角线，没法用一个准确的数来表示，我们只能给开他一个范围，所以这道题也就是在引导我们去发现直角三角形三边的数量关系。
我们可以举这样一个例子。画出一个直角三角形，使其两条直角边的长度分别为3cm和4cm，然后量出斜边的长为多少。通过画图，我们可以得出斜边的长度为5cm。那么此时我们能不能猜想，三边长的平方之间会有怎样的关系呢？你会发现3²=9，4²=16，而9+16=25，也就是3²+4²=5²。所以我们能猜测：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
好，既然已经有了猜想，就可以对此进行一步步地证明了。如图：
图中的直角三角形三边的平方，满足我们上面所猜想的数量关系吗？我们可以对此进行计算。如图我们可知到，直角三角形的三边分别为a，b，c，我们的猜想是a²+b²=c²。那你再仔细想想，a²是不是就是正方形的面积公式吗。那么以边长a所构成的这个正方形，我们先称为“正方形a”。我们知道，一个小格的长度为1，那么边长a的长度就应该是3，正方形的面积也就是a²=9。那你再看边长b所构成的正方形，它的边长长度也为3，所以正方形b的面积也等于9。接下来就是边长c，我们会发现c它是一个斜边，你没法直接用边长去求出它的面积是多少，所以我们就可以用到“割补法”。如图：
其中左边为“割”的方法，右边为“补”的办法。所谓“割”就是把这个正方形c分成4个小直角三角形。而补呢，则是把它补成一个大正方形，然后再减去4个小直角三角形。所以我们可以通过任意一种方法得出正方形c的面积为18。那么现在，我们得出的结果是a²=9，b²=9，c²=18，那也就证明了我们刚才的猜想，a²+b²=c²。
可是这样的一个猜想能否作为定理呢？不能。为什么呢？因为以上的种种都是特例，我们在证名的过程中，用的是数格子的方法，但真正的证明是要脱离格子纸，去用字母证明（最简单的方法）。下面，让我们来一起证明吧。如图：
我们当然同样猜想abc的关系为a²+b²=c²。那么在这样一个图形中，我们需要先把其他所对应abc的边给标出来。然后求出它们的面积含有abc的关系式。如右半边所示。然后用刚才所知道的一个大正方形减去4个小三角形就等于正方形c了。如图：
当然，也可以用割的办法，我在此就不说了，展示一下过程
图
过程
除了正方形的证明方法，还可以用直角梯形来验证勾股定理。如图：
图
过程
证明完勾股定理后，让我们再用标准三种的数学语言来总结一下。如图：
证明完了勾股定理，你有没有想过它会像我们当时的平行线一样，拥有互逆的性质定理和判定定理？没错，勾股定理也有它的逆定理。勾股定理我们知道是已知直角三角形，去求三边。那逆定理，你就应该会想到是已知三边的关系，然后去求三角形是否为直角三角形。那下面，就让我们来展开证明吧。如图：
已知三角形ABC的三边长abc满足a方+b方=c方，我们要求角C等于90度。那我们该怎么证明呢？我们可以画一个直角三角形A'B'C'，使角C等于90度且A'C'=AC，B'C'=BC。然后可以用勾股定理得出A'B'=AB，然后再用SSS证出全等就可以求出了。过程如下：
我们也同样在用三种数学语言来总结一下。
那你又有没有想过，证明直角三角形全等的方法有不同的（也就是在文章开始前我们提过的）？嗯，肯定有，我们称它为“HL”，证明过程如下：
最下面是它的符号语言。
以上算是勾股定理的第二部分——精确。
接下来，我们再来说一下综合应用。
对于综合应用部分，我们涉及到的就是用勾股定理或者是逆定理去求一些东西。当然在求的时候，最容易出现的两个“问题”。就是知道直角三角形中，一边的长度和剩下两条边的关系“知一求二”和“知二求一”。那什么是“知一求二”？什么又是“知二求一”呢？“知一求二”是指，在直角三角形中，给你任意一条边的长度和剩下两条边的关系，去求另外两条边的长度。那“知二求一”就是，知道任意两条边的长度去，求另外一条边的长度啦。
最后就是未来发展。可以把它分为横向发展和纵向发展。横向发展呢就是指向勾股数这样的方向探索，而纵向发展呢，“根号”（这章涉及到的符号）可以说是对于实数的一个浪漫。
但是，这章我们探索的就是直角三角形三边的关系（勾股定理），那么还有什么更大的问题可以研究？
我们知道直角三角形一种特殊三角形，所以直角三角形三边的关系能否转化成普通的三角形三边的关系？换句话说，普通三角形的三边又会有怎样的关系呢？
还有是对于直角三角形。如果它的角度不变，其中一条边变长的话，另外两条便会发生怎样的变化？又或者是如果角度变了，另外两条边或角又会发生怎样的变化？（ 关于这一类的问题，肯定还有好多好多。）
那么以上，就是我们勾股定理这一章的探索过程。
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