勾股定理

      探索勾股定理，在浪漫感知阶段——我们在探索三角形的时候，发现在两三角形判定全等的判定方法中，ssa也就是边边角的判定方法，不能用来判定其他任何三角形，却可以在判定两直角三角形全等上使用，疑问就在于：当我们知道两直角三角形的一直角边与斜边相等之后(用ssa，包括一个条件90度)，何能判定全等呢？所以通过它们之间的特殊边角关系，我们猜想，在直角三角形中，它的两个直角边与斜边之间可能有某些特殊的关系。那么接下来我们就要去寻找直角三角形的三边关系的了

    猜想：在一个求单位正方形对角线的长度的问题中，发现以其对角线为边再次构造出一个正方形的面积。

      等于单位正方形面积的2倍，也就是说，单位正方形其对角线的平方就等于2，在此我们就我们对于直角三角形的三边关系有了初步的感知。因为我们也可以将单位正方形的对角线看作等腰直角三角形B E D的斜边。

      在此挑战单又给出了更进一步的追问，通过做出两直角边分别为3和4厘米的直角三角形——测量发现其斜边为5厘米。

所以进一步的猜想就是关于直角三角形三边长的平方之间的关系(平方也就意味着正方形——直角三角形两直角边的平方，是否等于斜边的平方呢？)，那么我的初步猜想就是a^2+b^2=c^2,我们猜想的文字语言就是:直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。 探索的逻辑下一步就是要去验证猜想的准确性，根据三形边的平方，能想到的是画出一个以直角三角形两直角边与斜边为边的三个正方形。我们在单位为一的网格图上画出了一个两直角边分别为三厘米的直角三角形，并分别画出了三边上的正方形。想要验证量两小正方形的面积和是否等于大正方形的面积，就需要先把面积计算出来，但由于大正方形是以直角三角形的斜边为边所作出的图形，所以并不能通过数格子的方法去精准的数出它的面积。这时，我们就需要去使用割补法来算出大正方形的面积，再去验证我们的猜想：我们将c^2补成一个更大的正方形BJKL——用全等于直角三角形ABC的四个直角三角形，那么，其大正方形的面积就等于（3+3）×2=36，那么我们再将围成大正方形的四个全等的直角三角形减去，就是斜边上正方形的面积：最后算出36-3×3×1/2×4=18，然后，我们通过数格子的方法，数出两直角边上正方形的面积和也同样为18，就能初步的验证猜想a^2+b^2等于c^2。

      那么，如果在一直角三角形中，两直角边的长度并不相等呢？因此，我们又在单位一的网格上做出了一个直角三角形，其两直角边的长度分别为3和4，在以上题同样的步骤做出三个正方形之后，在正方形ADEC上补出三个全等于直角三角形ABC的直角三角形，然后依然运用原来的方法就能计算出斜边上正方形的面积，过程性算式为：（3+4）^2-3×4×1/2×4=25 ，并且数出S正方形ABGF与S三角形BHIC之和也同样为25，所以猜想依然成立。

        割的方法就适用于两直角边分别为3和4的不相等的直角三角形中：我们将在直角三角形斜边上做出的正方形中割出四个全等于原直角三角形的图形，结果可发现，此正方形中心还留有一块小正方形，那么，斜边上的正方形的面积就等于：4S原直角三角形加中心的正方形的面积：3x4x1/2x4+（4-3）^2=25。

      当我们已经将猜想验证到了这一步，那么是否能将其称为定理呢？答案是不能因为我们所举出来去验证a^2+b^2=c^2的例子都是个例，他们并不具有普遍性，所以我们需要使用代数，也就是拥有普遍性的式子去验证我们的猜想：那么，仍然是一个直角三角形，我们只不过是将其两直角边的长度设为a和b，其斜边的长度设为c，并以之前同样的方法做出三个正方形，我们仍然利用补的方法，补出一个大正方形，计算大正方形面积的两种等式就是（a+b）^2=ab1/2×4+c^2，最终解得a^2+b^2=c^2。

同样利用割的方法，在以斜边上的正方形同上个例子割好了以后，计算其面积的等式就是：abx1/2×4+（b-a）^2（b 大于a）最终解得a^2+b^2=c^2。此时我们已经使用拥有广泛性的字母去验证了我们的猜想，所以我们对于a^2+b^2=c^2的猜想在此时就被我们验证为了定理。这里我就不多说了。

      在此时，我们就已经可以，应用此定理去解决一些，应用此定理去解决一些我们以前不能解决的问题了。

      说到勾股定理的逆定理，它的文字语言——已知三角形三边长度，求其是否为直角三角形。也就是说在这道题中，我们已知a^2+b^2=c^2，让我们去证明这个三角形是否是直角三角形，我们该如何去证明呢？首先，我们做出一个直角三角形EDF，使AC=DE，CB=DF，而且ED垂直于DF，那么，为何我们不能使新做出来的直角三角形的斜边等于原三角形的斜边呢？原因是，当我们将其三边都确定相等了以后，由于我们要证的三角形还不一定是直角三角形，那么我们做出来的与原三角形三边全等的三角形也就不可能是直角三角形了。然而，我们需要新做出的三角形是直角三角形，所以我们已知DE垂直于EF——角D=90度，所以，DE^2+DF^2=EF^2=a^2+b^2=AB^2 ，所以AB=EF，至此因为在三角形ABC和三角形DEF中，AC=ED、CB=DF、AB=EF所以三角形ABC全等于三角形DEF，则三角形ABC就是直角三角形，因此我们也就证明了勾股定理之逆定理是成立的。

        在我们探索勾股定理时，是以知其直角三角形去证明其三边关系，而在他的逆定理中，我们已知其三边关系，却要去证明它是否为直角三角形，所以所以他们之间是两个互逆的定理，可不要混为一谈。

        那么，以上就是探索勾股定理，与其逆定理的从浪漫到精确的过程，当我们将勾股定理学好之后，下一步就是向实数方向的探索了。