【快乐做题】解不定方程

作者: 东方胖 | 来源:发表于2023-07-31 22:29 被阅读0次

某日，我面对下面的一道题

say

求方程
$1 + 2^x + 2^{2x + 1} = y^2 \quad (1)$ 的所有整数解

一开始我吧 $x = 0$ 代入进去，解出 $y = 2 或 -2$
于是立刻我就得到两对解
$(0, 2), (0, -2)$

我猜想可能已经没有其它的解了。
毕竟这个方程看上去有一点别扭，一个2的幂次加1一般都是很少因子，甚至是素数。

但是当我试到 $x = 4$ 时我又得到一组解（4，23 ），（4，-23）
感觉问题变得有点奇怪了，很可能还有其它的解，但总不能一直遍历穷举。

分析

左边是个奇数，奇书的平方是奇数，偶数的平方是偶数，所以 y 一定是个奇数。
我们令 $y = 2k+1， k \in \mathbb{Z}$

这样的话，（1）式可以变成
$2^x(1 + 2^{x + 1}) = 4k(k + 1) \\ 即 2^{x - 2}(1 + 2^{x +1}） = k(k + 1) \quad (2)$

到式子 $(2)$ 为止我有点迷茫了，这个方程没什么头绪，但是我得出 $x \ge 2$ 的结论
否则左边不是一个整数
紧接着，我又发现 $x$ 不可以是 2 也就是 $x \ge 3$ 因为 k和 k + 1 不能有 0 也必然有一个偶数，所以 $2 | 2^{x-2}(1 + 2^{x + 1})$ 也就是 $2 | 2^{x-2}$ ,因为右半部分 $(1 + 2^{x + 1})$ 是个奇数。

然后我又陷入迷茫了，这能带来什么东西。

停滞

过了几天我想着能不能把 $(2)$ 分解一下
假设 k 是偶数，那么 k + 1 是奇数，那么2的幂次 $2^{x-2}$ 必定整除 k，因为另一个 k + 1没有2的因子

现在我可以改写一下 $(2)$

$2 ^ {x - 2} | k, k = 2^{x-2}m, m是奇数且 m > 0\\ 1 + 2^{x + 1} = m(2^{x - 2}m + 1) \quad (3)$

令 $l = 2^{x - 2}$ , 则有
$1 + 8l = m(lm + 1) \quad (4)$
对 (4)式，尝试用 m 表示 l ，则有

$l = \frac{m - 1}{8 - m^2} \quad (5)$

这是一道曙光，因为这个 (5) 包含很多东西，首先， l是一个 2的幂，它至少是2 ，其次，右边的 m - 1 > 0, 这导致 $m^2 < 8$ 这样 m就只能取 {1， 2} 或者是个负数。
m奇数，所以如果m是正数的话，只能是 1 但这样的话， $l = 0$ 不可能

于是好像 m只能是负数了，看看有无办法再次估计m的界，利用 $l \ge 2$ 将（5）式变成不等式
$\frac{m - 1}{8-m^2} \ge 2$
即
$2m^2 + m - 17 \le 0$
解得 $0 > m > \frac{-1-\sqrt{137}}{4}$
m可以取 $-1, -2,-3$ 保留奇数，即m = -1，-3， -5，同时要满足 $8- m^2 < 0$ 最后解出
$m = -3$ 这样 $l = 4, x = 4, y = \pm23$
再考虑 k + 1是偶数，情况一样，只是符号的问题，我们可以用 k + 1代替 k