25.1 匈牙利指派法

匈牙利指派法是一种求解指派问题的优化算法，由匈牙利数学家迪南格提出。它通过寻找一个最优指派方案，使得 n 个人完成 n 项任务的总耗时最少。

匈牙利指派法的核心思想是：通过行变换和列变换，将原始效率矩阵转化为一个能够覆盖所有 0 元素的最小子矩阵，然后根据这个子矩阵中每行每列的元素特点，确定最优解。

具体来说，匈牙利指派法包括以下步骤：

对效率矩阵的每一行和每一列都减去该行或该列的最小元素。
在得到的新的效率矩阵中，寻找能够覆盖所有 0 元素的最小子矩阵。这个子矩阵中的每行每列都有至少一个 0 元素。
根据子矩阵中每行每列的元素特点，确定最优解。如果某个子矩阵中有偶数个 0 元素，那么该行或该列中位于两个 0 元素之间的元素为 1，其余元素为 0。如果某个子矩阵中有奇数个 0 元素，那么该行或该列中位于最中间的元素为 1，其余元素为 0。
通过以上步骤，我们可以得到一个最优指派方案，使得 n 个人完成 n 项任务的总耗时最少。

除了匈牙利指派法，还有弗劳恩-哈弗斯算法和贝尔曼-福特算法等其他指派方法。

弗劳恩-哈弗斯算法是一种用于解决最小成本指派问题的贪心算法。它首先对任务进行排序，并按照顺序逐个分配给工人。在每一步中，它都会将一个任务分配给能够以最低成本完成该任务的工人。

贝尔曼-福特算法是一种用于解决最大流问题的算法。它通过不断地寻找增广路径来增加流的流量，直到找不到增广路径为止。它的核心思想是通过不断优化当前流，从而得到最大流。

这些指派方法都有各自的特点和适用场景。在实际应用中，可以根据问题的特点和需求选择合适的指派方法。