本文目录
前言
恒定乘积市场
套利以及它告诉了我们什么
Uniswap 的优良特性
结论
近日，在 bZx 连遭攻击之后，关于「预言机」、「闪电贷」、「管理密钥」的讨论已变得越来越多，DeFi 生态正在经历一个短暂的痛苦期。
对此，以太坊联合创始人 Vitalik Buterin 也不得不站出来维稳局面了，他在近日转发了 Uniswap 创始人 Hayden Adams 的一条推文，并评论称：
真的如此吗？
前言
Uniswap 已成为了传统订单簿式交易所的一种非常流行的替代方案，并且它还成为了一种测量两种币之间相对价格的常用方法，通常被称为‘价格预言机’。有点令人惊讶的是，尽管Uniswap 的基本思想非常简单，但它的实际效果却是相当好的：在「现实世界」中，与规模大得多的交易所相比，Uniswap 似乎准确地估计了两种资产的相对价格。
Uniswap 的稳定性令人惊讶，因为它似乎不受那些试操纵价格以谋取私利的不良行为者的影响。这些结果可能是 Uniswap 用户的直觉，因为他们已目睹了它的表现。而对于怀疑者来说，我们的分析为「Uniswap 是一个好预言机」的条件创建了一个数学框架。在最近发表的论文（已被 Cryptoeconomic Systems 2020 接受）中，我们对 Uniswap 进行了一番分析。
恒定乘积市场
Uniswap 是恒定乘积自动做市商，通常简称为恒定乘积 AMM的特殊例子。其思想如下：我们有一个合约或交易所，它有一些代币「A」（包含R 这样的代币）的储备以及一些代币「B」(包含R' 这样的代币) 的储备。
一个想购买代币 「B」 Δ’ 币的代理人必须投入足够的代币「A」，以使储备乘积保持不变。换言之，如果代理人想从储备中购买代币 「B」 Δ’币，那么代理人必须将「A」代币的Δ币投入储备，以便新储备乘积与旧储备乘积相同：
方程（1）可以很容易地用来推导我们将要用到的量。例如，币「A」的 Uniswap 价格 mᵤ，相对于币「B」的定义，是用一定数量的币「B」购买币「A」的边际价格。
这相当于是用币「B」购买无限小数量币「A」的平均价格，我们可以将其绘制为价格在Δ = 0 时的斜率：
注：截至目前，恒定乘积公式（方程式（1））不包括任何交易费用。
套利以及它告诉了我们什么
为了说明 Uniswap 的价格应相对于参考市场的价格，我们需要假设这些市场是如何相互作用的。
在金融数学中，一个非常常见和简单的方法，就是说不存在套利。换言之，我们会假设，不承担任何风险，只在这两个市场之间进行交易，是不可能免费赚到钱的。
因此，我们可以证明，如果 mᵤ≠m （其中 m 是参考市场价格），那么必然存在一笔足够小的交易，使得代理人可以获得正利润，这就意味着，在这个假设下 mᵤ = m。
为了证明这一点，我们假设 mᵤ m, 然后，通过定义 mᵤ，存在一个足够小的币「A」输入，例如Δ，这样：
在给定币「A」的Δ的情况下，Δ’是币「B」的输出。
同样，对于市场来说，存在足够小的交易，使得mΔ ≈ Δ''，但是，由于Δ'' Δ' (因为mᵤ m)，我们可以很容易地通过在公开市场上以Δ'' 交易Δ来轻松获利，然后在Uniswap 中以Δ交易Δ'，也就是说，我们的利润是正的（因为Δ''– Δ' 0）。注意，这个推导虽然不是完全严格的，但基本上遵循了数学证明。
由于我们可以在 mᵤ m 时提出类似的声明，因此我们得出结论，在无套利条件下，mᵤ = m。这就意味着，如果我们假设没有套利和交易费用，那么 Uniswap 的市场价格一定是等于真实的市场价格！当然，无套利假设仅在实践中大致成立，因此 Uniswap 可能会偏离真实市场价格，特别是在一个区块或少量区块内。更为详细的分析表明，在许多市场模型下，真实的市场价格将非常接近 Uniswap 价格，基于代理的模拟验证了这一点。
注：类似（但较弱）的声明适用于有交易费用的情况： γm ≤ mᵤ ≤ γ⁻¹m, 其中（1-γ）是交易费的百分比。
Uniswap 的优良特性
Uniswap 还有一些很好的特性，这增强了我们的信念，即它在实践当中很可能是一个好的预言机。更具体地说：
(a) 不可能仅仅通过在市场内交易币来耗尽Uniswap 的储备；
(b)向市场增加流动性是正确的做法，因为它降低了特定币的交易成本，同时增加了操纵预言机的成本。
储备金的边界，要证明没有交易能耗尽 Uniswap 的币，这是不难的。由于 k = R’R，那么，通过 AM-GM 不等式（均值不等式）我们得到：
这立即意味着，可能储备金的总和，是以积 k 的平方根为界的。根据定义，每次交易后 k 总是常数，那么储量的总和总是离 0 较远的。
增加流动性降低交易成本，
有几种方法可以证明这一事实，但最简单的一点是，给定币「A」的输入Δ，我们得到：
利用无套利情况下 R =mᵤR’的事实，则币 B 的输出等于：
对于固定边际价格 mᵤ，它在 R’ 中增加（注意分母随着 R’ 的增加而减少）。因此，可用储量越高，给定输入量的输出量就越大。这对于很多使用 Uniswap 协议的用户来说是很直观的，在更多流动性池的情况下，他们看到的滑动是较小的。
当进行大的变动时，价格操纵是昂贵的。事实上，将Uniswap 价格操纵到任何固定金额的成本，都与储备量与区块数量成线性关系，这在很多实际情况下可能是昂贵的，尽管我们注意到，对价格非常小或短期的扰动，会是相对便宜的。现在，假设攻击者希望将 Uniswap mᵤ的价格操纵到一定的量 p m （其中 m 是市场价格），那么这个单一操作（例如，对于单个区块）的成本至少是：
如果我们假设 p ≥ (1+ε)m 且ε 0，那么由于 C(p) 在 p 中（p m）是增加的，我们得到的成本至少是：
据我们所知，
其中 K 至少为 1/（32√2）。找到 C （ε）的这一下界有点棘手。如前所述，这一下界与一个常数因子相关，但这里给出的常数 K 是一个非常弱的下界。因此，这个特殊的选择应该只是作为经验法则，而不是作为一个确切数。
事实上，成本与储备量 R 是成线性关系的，这一事实正说明了大型流动性池对稳健的重要性。另一方面，由于当ε很小时，成本是平方标度的，攻击者有可能在很长一段时间内对 Uniswap 中报告的价格进行轻微操纵，而无需花费太多费用。
例如，如果储备池的R=1000 ETH，攻击者可通过ε=1% 操纵价格，大约为每个区块C(.01) ≈ 0.025 ETH （这里的下界相当弱，给出C （.01） ≥ 0.002 ETH）。
请注意，这种操纵在实践中是可能存在的，因此，我们将警告说，任何协议都不应依赖这些预言机所报告价格非常细微的变化，也不应该依赖在非常短的时间内报告的价格。
换而言之，在试图对价格进行重大调整时，操纵很快就会变得昂贵，这也是我们目前没有观察到对 Uniswap 市场进行大规模操纵的原因之一。
结论
Uniswap 虽然相对简单，但它似乎具有很好的理论性质。这表明，在实践中，它作为一个去中心化市场和价格预言机可以拥有稳定性。此外，上面的声明确实强调了在 Uniswap 中拥有大型储备池的重要性，因为所有结果都以某种方式依赖于此。
——全文完——
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