剑指offer 68- 骰子的点数

将一个骰子投掷 n 次，获得的总点数为 s，s 的可能范围为 n∼6n

掷出某一点数，可能有多种掷法，例如投掷 2次，掷出 3 点，共有 [1,2],[2,1]两种掷法。

请求出投掷 n次，掷出 n∼6n点分别有多少种掷法。
样例1

输入：n=1

输出：[1, 1, 1, 1, 1, 1]

解释：投掷1次，可能出现的点数为1-6，共计6种。每种点数都只有1种掷法。所以输出[1, 1, 1, 1, 1, 1]。

样例2

输入：n=2

输出：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

解释：投掷2次，可能出现的点数为2-12，共计11种。每种点数可能掷法数目分别为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1。
所以输出[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]。
分析：
算法一：暴力递归(dfs)：
时间复杂度

• 状态的表示，也就是状态的定义。
• 状态转移
• 边界情况，最后一次掷色子的情况，分为6类

dfs(n, s)表示投n次色子总和是s的方案数。
dfs()表示的就是答案，也就是要求的东西。

class Solution {
public:
    vector<int> numberOfDice(int n) {
        vector<int> res;
        for(int i=n;i<=6*n;i++) res.push_back(dfs(n, i));
        return res;
    }
    int dfs(int n, int s) {
        if(s<0) return 0;
        if(n==0 && s == 0) return 1;
        
        int res=0;
        for(int i=1; i<=6; i++) res+=dfs(n-1, s-i);
        return res;
    }
};

算法二：DP
考虑状态表示和状态计算，和最后的边界情况。
f[i][j]表示——前i次掷色子，总和是j的方案数。
边界就是最后一次的情况，分6类，不同的类对应不同的结果。

三重for循环中，投掷1次，就有6种可能的点数，投掷2次，就有12种可能的点数，所以投掷n次，就有6n种可能的点数。所以在第2重循环中，j <= i * 6，因为可能还没到第n次，总数j也不会到6n个。
最后一重循环，因为最后的模型是f[i][j] += f[i - 1][j - k]。也就是i次中，投出1次后，变成n - 1次，总和从j变到j - k后剩余的方案数。因为是j - k，不能越界，所以j >= k，所以k = min(j, 6)，可能前期j还没有枚举到6，那么k就不能取到6。

最后我们将计算好的答案放在res中，f[n][i]，i = n ~ 6n，表示投掷n次后，总和分别为n~6n的所有方案数。

时间复杂度

class Solution {
public:
    vector<int> numberOfDice(int n) {
        vector<int> res;
        vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(6*n+1));
        dp[0][0] = 1;//初始值，为了计算出dp[1][1]
        for(int i=1; i<=n; i++)//投i次
            for(int j=i; j<=6*i; j++)//总点数j
                for(int k=1; k<=min(j, 6); k++) dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
        
        /*for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=i; j<=6*i; j++)
                cout<<dp[i][j]<<' ';
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;*/
        for(int i=n; i<=6*n; i++) res.push_back(dp[n][i]);
        return res;
    }
};