Lintcode401 Kth Smallest Number

【题目描述】

Find the kth smallest number in at row and column sorted matrix.

在一个排序矩阵中找从小到大的第 k 个整数。

排序矩阵的定义为：每一行递增，每一列也递增。

【题目链接】

www.lintcode.com/en/problem/kth-smallest-number-in-sorted-matrix/

【题目解析】

寻找第k小的数，可以联想到转化为数组后排序，不过这样的时间复杂度较高：O(n^2 log n^2) + O(k).

进一步，换种思路，考虑到堆（Heap）的特性，可以建立一个Min Heap，然后poll k次，得到第k个最小数字。不过这样的复杂度仍然较高。

考虑到问题中矩阵本身的特点：排过序，那么可以进一步优化算法。

[1 ,5 ,7],

[3 ,7 ,8],

[4 ,8 ,9],

因为行row和列column都已排序，那么matrix中最小的数字无疑是左上角的那一个，坐标表示也就是(0, 0)。寻找第2小的数字，也就需要在(0, 1), (1, 0)中得出；以此类推第3小的数字，也就要在(0, 1), (1, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 2)中寻找。

在一个数字集合中寻找最大（Max）或者最小值（Min），很快可以联想到用Heap，在Java中的实现是Priority Queue，它的pop，push操作均为O(logn)，而top操作，得到堆顶仅需O(1)。

从左上(0, 0)位置开始往右/下方遍历，使用一个Hashmap记录visit过的坐标，把候选的数字以及其坐标放入一个大小为k的heap中（只把未曾visit过的坐标放入heap），并且每次放入前弹出掉（poll）堆顶元素，这样最多会添加（push）2k个元素。时间复杂度是O(klog2k)，也就是说在矩阵自身特征的条件上优化，可以达到常数时间的复杂度，空间复杂度也为O(k)，即存储k个候选数字的Priority Queue （Heap）。

【参考答案】

www.jiuzhang.com/solutions/kth-smallest-number-in-sorted-matrix/