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Moore-Penrose 伪逆

Moore-Penrose 伪逆

作者: 升不上三段的大鱼 | 来源:发表于2021-11-29 23:25 被阅读0次

逆矩阵
A 矩阵的逆矩阵 A^{-1}满足体：
A^{-1}A=I_n
因此对于一个线性方程 Ax=b，求解可以得到 x = A^{-1}b。

对于行数与列数不相等的矩阵，其逆矩阵没有定义。可以通过矩阵 A 的左逆 B 来求解。
在 Ax=b 左右两侧左乘左逆，得到：
x = Bb

如果矩阵 A 的行数大于列数，那么上述方程可能没有解。如果矩阵 A 的行数小于列数，那么上述矩阵可能有多个解。

Moore-Penrose 伪逆（Moore-Penrose pseudoinverse）：定义矩阵 A 的为 A^+ = VD^+U^T，其中 U,D,V 是矩阵 A 奇异值分解得到的矩阵， D^+ 是 D 的分零元素取倒数后转置得到的。

当矩阵A 的列数多于行数时，使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。特别地，x = A^+b 是方程所有可行解中欧几里得范数∥x∥_2 最小的一个。
当矩阵 A 的行数多于列数时，可能没有解。在这种情况下，通过伪逆得到的 x 使得 Ax 和 y 的欧几里得距离∥Ax - y∥_2 最小。

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