【博客的主要内容主要是自己的学习笔记，并结合个人的理解，供各位在学习过程中参考，若有疑问，欢迎提出；若有侵权，请告知博主删除，原创文章转载还请注明出处。】
[TOC]

1.什么是决策树

决策树是一种决策支持工具，通过使用树型图方式（可以是二叉树或非二叉树）展示尽可能的结果。

1.1 决策规则

决策树是线性决策，其每个非叶节点表示一个特征属性上的判断，叶节点表示出现的结果。
决策树的决策过程（即每个分支）是从决策树的根节点开始，待测数据与决策树中的特征节点进行比较，并按照比较结果选择下一个比较节点，直到叶节点作为最终的决策结果。可以表示为：
If 条件1 and 条件2 and 条件3 then 结果

1.2决策树绘制

决策节点：使用矩形框表示；
机会节点：使用圆圈表示；
终结点：使用三角形表示。

1.3决策树的经典算法 ID3、C4.5、CART

2. 决策树的建立

特征选择：从训练数据的特征中选择一个特征作为当前节点的分裂标准
决策树生成：依据选择特征标准，从上至下递归生成子节点，直到数据集不可再分则停止。
剪枝：决策树易过拟合，需要通过剪枝来缩小树的结构和规模。

3. 决策树-ID3算法

3.1 特征选择

决策树的目标是将数据集按对应类标签进行分类。通过特征的选择将不同类别的数据集“赋予”对应的标签。特征选择的目标使得分类后的数据更佳“有序”。如何衡量一个数据集“有序”程度（或称纯度），通过数据纯度函数来判断，这里介绍两种纯度函数：
1.0 信息增益（information gain)

信息熵(entropy)表示信息的期望（即不确定程度）。当选择某个特征对数据集进行分类，划分前后数据集信息熵的差值表示为信息增益。信息增益衡量某个特征对分类结果的影响大小。
假设：训练数据集为D，数据类别数为c。在构建决策树时，根据某个特征对数据集进行分类。在此，计算出该数据中的信息熵：
A.分类前的信息熵计算公式

这里写图片描述 Pi表示类别i样本数量占所有样本的比例。
B.分类后的信息熵计算公式 对应数据集D，选择特征A作为决策树判断节点时，在特征A作用后信息熵为Infosa(D)，其计算公式如下： 这里写图片描述 K表示顺联数据集D被划分为k个部分。

C.数据集的信息增益

信息增益表示数据集D在特征A的作用后，其信息熵减少的值，计算公式如下： Gain(A)=Infos(D)−Infosa(D)
2.0 基尼不纯度（Gini impurity) 从一个数据集中随机选取子项，度量其被错误分类到其它分组里的概率。

分类前信息熵计算公式

这里写图片描述 c表示数据集中类别的数量；pi表示类别i样本数量所占样本比例。
分类后信息熵计算公式 这里写图片描述
数据集的信息增益 ∆Gini(A)=Ginia(D)−Gini(D)
选择增益最大的特征作为该节点的分裂条件。

3.2 剪枝

在分类模型建立过程中，容易出现过拟合情况。
过拟合是指在模型学习训练中，训练样本精确度非常高，导致非训练样本的精确度的误差随着训练次数先下降后上升的现象。 标准定义：给定一个假设空间H，一个假设h属于H，如果存在其他的假设h’属于H,使得在训练样例上h的错误率比h’小，但在整个实例分布上h’比h的错误率小，那么就说假设h过度拟合训练数据。 ----《Machine Learning》Tom M.Mitchell
决策树的拟合现象通过“剪枝”技术做一定的修复。“剪枝”分为“预剪枝”和“后剪枝”。
预剪枝：在决策树创建过程中，算法中加入一定的限制条件来终止树的生长，以避免过拟合度。通常的方法，信息增益小于一定阀值的请示后通过剪枝使决策树停止生长。阀值设置不当导致模型拟合不足和过拟合情况。
后剪枝：在决策树生长之后，按照自下而上的方式进行修剪决策树。通常两种方式：一种用新的叶节点来替换分支；另一种用最常使用分支来替换。

3.3 优点和缺点

优点：计算复杂度不高，输出结构易于理解，对中间值的缺失不敏感，可以处理不相关特征数据。 N缺点：可能会产生过度匹配问题。

4. 决策树-ID3算法实现：基于python 和 numpy

示例： 这里写图片描述

4.1 算法伪代码

CreateBranch()
检测数据集中的每个子项是否属于同一分类：
If so return 类标签 Else 寻找划分数据集的最好特征
划分数据集
创建分支节点 For 每个划分的子集
调用函数createBranch并增加返回结果到分支节点中
Return 分支节点

4.2 算法实现

<pre><code>

-- coding: utf-8 --

"""
Created on Sat Jun 18 16:50:40 2016

@author: Paul.lu
"""
from math import log
import operator

创建样本数据集和标签

def createDataSet():
dataSet = [[1,1,'yes'],
[1,1,'yes'],
[1,0,'no'],
[0,1,'no'],
[0,1,'no']]
labels = ['no surfacing','flippers']
return dataSet,labels

dataSet,labels = createDataSet()

'''

说明：计算特征值的熵

返回：熵值

'''
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntries = len(dataSet)
labelCounts = {}

for featVec in dataSet:
    currentLabel = featVec[-1]
    if currentLabel not in labelCounts.keys():
        labelCounts[currentLabel] = 0
    labelCounts[currentLabel] += 1
    
#计算“熵”
shannonEnt = 0.0
for key in labelCounts:
    prob = float(labelCounts[key]) / numEntries
    shannonEnt -= prob * log(prob,2)
return shannonEnt

shannonEnt = calcShannonEnt(dataSet)

'''

说明：划分数据集

splitDataSet(待划分的数据集，划分数据集的特征，特征的返回值)

返回：划分数据集

'''
def splitDataSet(dataSet,axis,value):
retDataSet = []
for featVec in dataSet:
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis]
reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet

'''
说明：选择最好的数据划分方式
1、计算信息增益：Gain（A） = Info(D) - InfoA(D)

'''
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
#获得标签个数
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1

#计算“数据集拆分前信息熵”
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)

#计算“数据集拆分后信息熵”
bestInfoGain = 0.0; bestFeature = -1
for i in range(numFeatures):
    featList = [example[i] for example in dataSet]
    uniqueVals = set(featList)
    newEntropy = 0.0

    for value in uniqueVals:
        subDataSet = splitDataSet(dataSet,i,value)
        prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))
        newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
        
#计算“信息增益”
    infoGain = baseEntropy - newEntropy
    
#获得“信息增益”最大值
    if(infoGain > bestInfoGain):
        bestInfoGain = infoGain
        bestFeature = i
        
return bestFeature

chooseBestFeatureToSplit(dataSet)

'''

说明：如果数据集已经处理了所有属性，但是类标签依然不是唯一的，对该类叶子节点，通过多数表决来确定该叶子节点的分类。

'''
def majorityCnt(classList):
classCount = {}
for vote in classList:
if vote not in classCount.keys(): classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedClassCount = sorted(classCount.iteritems(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)
return sortedClassCount

'''

创建决策树

输入：样本数据集、标签列表

返回：决策树

说明：

1、递归终止条件：
程序遍历完所有划分数据集的属性，或者每个分支下的所有实例都具有相同的分类。

2、选择最好的数据集划分；
2.1 计算数据集划分前“信息熵”
2.2 计算数据集划分后“信息熵”
2.3 计算“信息增益” = Info(D) - Infoa(D)
2.4 获得最大的“信息增益”，以获得最好的数据划分。

3、遍历特征值，创建分支。

返回数据集示例：
最终返回数据集dict形式的数据：
{'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers': {0: 'no', 1: 'yes'}}}}
'''
def createTree(dataSet,labels):
classList = [example[-1] for example in dataSet]
'''递归终止的条件：程序遍历完所有划分数据集的属性，或者每个分支下的所有实例都具有相同的分类。'''
if classList.count(classList[0]) == len(classList):
return classList[0]

if len(dataSet[0]) == 1:
    return majorityCnt(classList)

'''选择最好的数据集划分'''
bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
bestFeatLabel = labels[bestFeat]

'''对特征值进行遍历，创建分支'''
myTree = {bestFeatLabel:{}}
del(labels[bestFeat])
featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featValues)

for value in uniqueVals:
    subLabels = labels[:]
    myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet,bestFeat,value),subLabels)
    
return myTree

ct = createTree(dataSet,labels)
print ct
</code></pre>
【参考】
1.什么是决策树
2.决策树学习
3.决策树算法介绍及应用