TsingHuaDSA-优先队列

该文章为清华大学数据结构与算法设计MOOC课程读书笔记.

1. 接口

PQ的接口

PQ中有引入了一个重要概念：优先级Priority

2. 实现

2.1 实现1：向量，列表

无序(有序)向量实现以及无序(有序)列表实现都不能兼顾地给出高效的三种操作。

2.2 实现2：完全二叉堆complete binary heap

由完全二叉树组成，因为其结构上的紧凑型，实际上的可以用向量来进行表示。因此，完全二叉堆：

1. 逻辑上，等同于完全二叉树。
2. 物理上，等同于向量。

3. 插入操作

• 思路：插入到底层，上滤
• 效率：O(lgN)

4. 删除操作

• 思路：拿走堆顶元素，替换为末元素，下滤。
• 效率：O(lgN)

注意：下滤的交换对象为相对较大的子节点

5. 建堆操作

思路1：自上而下的上滤

• 方法：将数组由做往后填，当需要上滤时进行上滤。
• 效率：O(NlgN)

理解tip：考虑最底层节点，数目为N/2的数量级，每个节点最多会上移lgN。其实就是对所有节点深度的求和。

思路2：自下而上的下滤

• 方法：将数组由后往前考虑，当需要下滤时进行下滤。
• 理解：相当于对子堆的逐层合并！
• 效率：数学方法可以证明达到O(N)

理解tip：由于效率取决于总的下移次数。对于每个节点，其下移次数最多为其高度，因此Sum = lgN + 2lg(N-1) + 4lg(N-3) + .. + 1 = O(N)。区别于思路1，这里是对所有节点高度的求和。

6. 堆排序

思路：

建堆 + 不断取出最大值 + 维护堆序

时间效率：

O(n) + n * O(lgn) = O(nlgn)

理解：类似于选择排序，但是在利用堆的特性，使得选择的过程变得更快！

空间效率：O(1) - in place！

堆排序效率

7. 堆的扩展-左式堆

7.1 目的

左式堆的引入是为了完成高效的堆合并

7.2 堆合并的几种思路

思路1：将其中一个堆逐一取出，然后逐一加到另一个堆

• 效率低O(mlg(m+n))

思路2：将两个堆的元素拿来直接建一个堆

• 线性效率 O(m + n)- 虽然效率可以接受，但是却没有利用本来两个堆各自有的有序信息。

思路3：左式堆

• 效率：O(lgn)
• 理解：尽可能利用原先两个堆的有序性，尽可能地减少对节点的操作！

7.3 什么是左式堆？

满足左倾性的堆就是左式堆

• 空节点路径长度

  
  Null Path Length

• 左倾性：任何节点右孩子的NPL不超过左孩子

左倾性

• 右侧链 - 左式堆的右侧链长度为O(lgN)

右侧链

7.4 左式堆合并算法

思路：

合并A的右子堆和B

实现

左式堆合并实现

效率：

因为一直在操作右子堆，因此效率上与右侧链长度同数量级，即O(lgN)