利用Mathematica进行矢量分析

很多理工科研究中需要用到矢量微积分进行模型的推导，有时遇到我们不熟悉的坐标系时，推导会变得比较不直观，并且增大了犯错的几率，利用Mathematica进行矢量分析则可以节省人力工作量，并且更加准确和迅速。
参考下面这个pdf来进行学习
田纳西州立大学的Professor Ding的mathematica_vector_analysis.pdf

Overview

Mathematica中最简单的矢量运算就是点积和差积：

Dot[{1,2,3},{-1,6,4}]
Out = 23
 
Cross[{1,2,3},{-1,6,4}]
Out = {-10, -7, 8}

记住Mathematica的格式，内置函数用大写字母开头，用方括号将参变量扩进去。

A simple mathematica program

• 求矢量v1,v2,v3的混合积：

clear[v1, v2, v3]
v1 = {1, 2, 3}
v2 = {-1, 6, 4}
v3 = {2, -3, 5}
Dot[v1, Cross[v2, v3]]

第一行的目的是清空之前可能给v1、v2、v3赋过的值，这是一个好习惯，每次使用新变量的时候都进行清零

• %的用处
  在Mathematica中%可以用来指代上次计算的结果

Cross[v1, v2]
{-10, -7, 8}
Dot[v3, %]
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Loading packages in Mathematica

有一些不是那么常用的函数，需要装载package来导入mathematica，需要使用Needs命令。
比如要装载我们使用的“VectorAnalysis"的package，输入：

Needs["VectorAnalysis`"]

注意所有的package的名字都要用引号括起来，并且要加上符号`

Grad, Div, Curl in Mathematica

Grad是对标量进行计算，得到他的梯度，一个矢量。
Div和Curl分别是对一个矢量求散度和旋度，得到的分别是标量和矢量；

• Grad的使用
  比如对函数 求梯度

Grad[x^2 y^3 z^4, {x,y,z},"Cartesian"]
Out = {2 x y^3 z^4, 3 x^2 y^2 z^4, 4 x^2 y^3 z^3}

• Div的使用
  比如对矢量 求散度

Div[{2 x y^3 z^4, 3 x^2 y^2 z^4, 4 x^2 y^3 z^3}, {x, y, z}, "Cartesian"]
Out = 12 x^2 y^3 z^2 + 6 x^2 y z^4 + 2 y^3 z^4

• Curl的使用
  对矢量 求旋度

f = {x^n y^n z^n, x^n y^n z^n, x^n y^n z^n}
Curl[f,{x,y,z},"Cartesian"]
Out = {-n x^n y^n z^(-1 + n) + n x^n y^(-1 + n) z^n, 
 n x^n y^n z^(-1 + n) - n x^(-1 + n) y^n z^n, -n x^n y^(-1 + n) z^n + 
  n x^(-1 + n) y^n z^n}

Grad, Div, Curl in other coordinate systems

未完待续