高考数学全国卷解析几何大题：2007年至2022年

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-12-06 16:06 被阅读0次

2007年至2009年间的解析几何大题

向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $x^2+y^2-12x+32=0$ 的圆心为 $Q$ ，过点 $P(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $Q$ 相交于不同的两点 $A,B.$

（I）求 $k$ 的取值范围;
（Ⅱ）是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{PQ}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年文数海南卷题19

向量与曲线：2007年理数海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，经过点 $(0,\sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .

（I）求 $k$ 的取值范围;
（II）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A,B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年理数海南卷题19

抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $m \in {R}$ ，直线 $l: mx-(m^2+1)y=4m$ 和圆 $C∶x^2+y^2-8x+4y+16=0.$

（I）求直线 $l$ 斜率的取值范围;

（Ⅱ）直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\dfrac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

参考答案：2008年文数海南卷题20

向量与曲线：2008年理数海南卷题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; $F_2$ 也是抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ .

（I）求 $C_1$ 的方程；
（Ⅱ）平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$ ，直线 $l// MN$ ，且与 $C_1$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

参考答案：2008年理数海南卷题20

方程与曲线：2009年文数全国卷题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\dfrac{|OP|}{|OM|}=e$ （ $e$ 为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

参考答案：2009年文数全国卷题20

2010年至2014年间的解析几何大题

椭圆：2010年文科数学全国卷题20

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $|AB|$ ;
（2）若直线 $l$ 的斜率为 $1$ ，求 $b$ 的值.

参考答案：2010年文数全国卷题20

椭圆：2010年理数全国卷题20

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|，|AB|，|BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $E$ 的离心率;
（2）设点 $P(0,-1)$ 满足 $|PA|=|PB|,$ 求 $E$ 的方程.

参考答案：2010年理数全国卷题20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2-6x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上.

（I）求圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 交于 $A，B$ 两点，且 $OA \perp OB$ ，求 $a$ 的值.

参考答案：2011年文科数学全国卷题20

向量与曲线：2011年理数全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$ ， $B$ 点在直线 $y=-3$ 上， $M$ 点满足 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

参考答案：2011年理数全国卷题20

抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $A$ 为C上一点，已知以 $F$ 为圆心， $FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点.
（I）若 $\angle BFD=90°$ ， $\triangle ABD$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（Ⅱ）若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值.

参考答案：2012年文数全国卷题20（文理同题）

方程与曲线：2013年文科数学全国卷二题20 $\heartsuit$

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{3}$ .
（I）求圆心 $P$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 $P$ 的方程.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题） $\heartsuit$

分值：12分

已知圆 $M:(x+1)^2+y^2=1,$ 圆 $N:(x-1)^2+y^2=9,$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|AB|$ .

参考答案：2013年数学全国卷一题21

弦长和面积：2013年理数全国卷二题20

分值：12分
平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 右焦点的直线 $x+y-3=0$ 交 $M$ 于 $A，B$ 两点， $P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$

（I）求 $M$ 的方程;
（Ⅱ） $C，D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$ ，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

弦长和面积：2014年理数全国卷一题20

分值：12分
已知点 $A (0，-2)$ ，椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $AF$ 的斜率为 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求 $E$ 的方程;
（Ⅱ）设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P，Q$ 两点.当 $\triangle OPQ$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年理数全国卷一题20

椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直. 直线 $MF_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N.$

（I）若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率;
（Ⅱ）若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $|MN|=5|F_1N|$ ，求 $a，b$ .

参考答案：2014年数学全国卷二题20

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

分值：12分
已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $|QF|=\dfrac{5}{4} |PQ|$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l'$ 与 $C$ 相交于 $M,N$ 两点，且 $A,M,B,N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年数学大纲卷题21

方程与曲线：2014年文数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C:x^2 + y^2 -8y =0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A，B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $M$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积.

参考答案：2014年文数全国卷一题20

方程与曲线：2014年理数湖北卷题21 $\heartsuit$

分值：14分
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（I）求轨迹 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

参考答案：2014年理数湖北卷题21

方程与曲线：2014年理数广东卷题20

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;
（2）若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

参考答案：2014年理数广东卷题20

2015年至2019年间的解析几何大题

椭圆的弦：2015年文数全国卷二题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2,\sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$ 证明：直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值.

参考答案：2015年文数全国卷二题20

椭圆的弦：2015年理数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $C:9x^2 + y^2=m^2（m \gt 0）$ ，直线 $l$ 不过原点O 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$

（I）证明：直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值;
（Ⅱ）若 $l$ 过点 $(\dfrac{m}{3},m)$ ，延长线段 $OM$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $OAPB$ 能否为平行四边形? 若能，求此时 $l$ 的斜率; 若不能，说明理由.

方程与曲线：2015年理数广东卷题20 $\heartsuit$

分值：14分

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A，B.$
（1）求圆 $C_1$ 的圆心坐标;
（2）求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L∶y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点? 若存在，求出 $k$ 的取值范围; 若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数广东卷题20

直线与圆：2015年文数全国卷一题20

分值：12分

已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $(x-2)^2 + (y-3)^2=1$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）求 $k$ 的取值范围;
（Ⅱ）若 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$ ，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$ .

参考答案：2015年文数全国卷一题20

两角相等~抛物线：2015年理数全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 与直线 $l: y=kx+a（a \gt 0）$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程;
（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$ ? 说明理由.

参考答案：2015年理数全国卷一题20

两角相等~椭圆：2015年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 和 $A(m,n)(m \ne 0)$ 都在椭圆 $C$ 上. 直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）;
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ .问∶ $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $\angle OQM= \angle ONQ$ ？若存在，求点 $Q$ 坐标;若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数北京卷题19

抛物线：2016年文科数学全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t(t \ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$ ， $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$ .

（I）求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$ ;
（Ⅱ）除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 是否有其他公共点？说明理由.

参考答案：2016年文数全国卷一题20

弦长和面积：2016年理数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E.$
（I）证明 $|EA|+|EB|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_1$ ，直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $M，N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P，Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围.

参考答案：几何方法解答问题I ：数形结合，几何开路

参考答案：直角坐标系中解答问题Ⅱ

参考答案：极坐标方法解答问题Ⅱ

弦长和面积：2016年理数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{t} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k（k \gt 0）$ 的直线交 $E$ 于 $A，M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上， $MA \perp NA.$
（I）当 $t=4，|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积;
（Ⅱ）当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围.

弦长和面积：2016年数学全国卷三题20（文理同题）

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=2x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_1,l_2$ 分别交 $C$ 于 $A，B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P，Q$ 两点.

（I）若 $F$ 在线段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中点，证明 $AR // FQ;$
（Ⅱ）若 $\triangle PQF$ 的面积是 $\triangle ABF$ 的面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程.

抛物线和圆：2017年文科数学全国卷三题20 $\heartsuit$

分值：12分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2+mx-2$ 与 $x$ 轴交于 $A，B$ 两点，点 $C$ 的坐标为 $(0,1)$ ，当 $m$ 变化时，解答下列问题∶

（1）能否出现 $AC \perp BC$ 的情况？说明理由；
（2）证明过 $A，B，C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值.

抛物线和圆：2017年理数全国卷三题20

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=2x,$ 过点 $(2,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A，B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;
（2）设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

参考答案：2017年理数全国卷三题20

向量与曲线：2017年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM}$ .

（1）求点 $P$ 的轨迹方程;
（2）设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$ . 证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ .

参考答案：2017年数学全国卷二题20

抛物线的弦：2017年文数全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

设 $A,B$ 为曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上两点， $A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$ .

（1）求直线 $AB$ 的斜率;
（2）设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点， $C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行，且 $AM \perp BM$ ，求直线 $AB$ 的方程.

参考答案：2017年文数全国卷一题20

椭圆~定点问题：2017年理数全国卷一题20

分值：12分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，四点 $P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

（1）求 $C$ 的方程;
（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点. 若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，证明： $l$ 过定点.

参考答案：2017年理数A题20

弦长和面积：2018年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k \gt 0 )$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $|AB| =8$ .

（1）求 $l$ 的方程;
（2）求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

参考答案：2018年数学全国卷二题20

椭圆的弦：2018年文数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明： $2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$ .

椭圆的弦：2018年理数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明： $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差.

两角相等~抛物线：2018年文数全国卷一题20

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=2x$ ，点 $A(2,0), B(-2,0)$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M，N$ 两点.

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $BM$ 的方程;
（2）证明： $\angle ABM = \angle ABN.$

参考答案：2018年文数全国卷一题20

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷一题19

分值：12分

设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A，B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ .

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程;
（2）设 $O$ 为坐标原点，证明： $\angle OMA = \angle OMB$ .

参考答案：2018年理数全国卷一题19

抛物线的弦：2019年理数全国卷三题21

分值：12分

已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$ .

（1）证明：直线 $AB$ 过定点；
（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求四边形 $ADBE$ 的面积。

参考答案：2019年全国卷三题21

抛物线的弦：2019年理数全国卷一题19

分值：12分

已知抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

（1）若 $|AF|+|BF|=4$ ，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ ，求 $|AB|.$

参考答案：2019年理数全国卷一题19

2019年全国卷二题21

分值：12分

已知点 $A(-2,0),B(2,0)$ , 动点 $M(x,y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ . 记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限， $PE \perp x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$ .

（i）证明： $\triangle PQG$ 是直角三角形；

（ii）求 $\triangle PQG$ 面积的最大值.

2020年~2022年

椭圆：2020年全国卷一题20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 =1( a \gt 1 )$ 的左、右顶点， $G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}＝8$ . $P$ 为直线 $x＝6$ 上的动点， $PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$ ， $PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ .
(1)求 $E$ 的方程；
(2)证明：直线 $CD$ 过定点。

参考答案：2020年理数全国卷一题20

2020年全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合， $C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合. 过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A，B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C，D$ 两点，且 $|CD|= \dfrac{4}{3}|AB|$ .
（1）求 $C_1$ 的离心率；
（2）设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点，若 $|MF|=5$ ，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程.

椭圆：2020年全国卷三题20

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1(0 \lt m \lt 5)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点.

（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|BP|=|BQ|, BP \perp BQ$ ，求 $\triangle APQ$ 的面积。

参考答案：2020年全国卷三题20

2020年新高考1卷题21

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 且过点 $A(2,1)$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $M,N$ 在 $C$ 上，且 $AM \perp AN$ , $AD \perp MN$ ， $D$ 为垂足. 证明：存在定点 $Q$ ，使得 $|DQ|$ 为定值.

2020年新高考2卷题21

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 过点 $M(2,3)$ , 点 $A$ 为其左顶点，且 $AM$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle AMN$ 的面积的最大值.

2021年全国甲卷题20

分值：12分

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $OP \perp OQ$ . 已知点 $M(2,0)$ ，且 $\odot M$ 与 $l$ 相切.

（1）求 $C$ ， $\odot M$ 的方程；
（2）设 $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2,A_1A_3$ 均与 $\odot M$ 相切. 判断直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 的位置关系，并说明理由.

2021年全国乙卷题21

分值：12分

已知抛物线 $C:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$ .

（1）求 $p$ ；
（2）若点 $P$ 在 $M$ 上， $PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线， $A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值.

2021年全国新高考1卷题21

分值：12分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1(-\sqrt{17},0),F_2( \sqrt{17},0)$ , 点 $M$ 满足 $|MF_1| - |MF_2| =2$ . 记 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）设点 $T$ 在直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且 $|TA| \cdot |TB|= |TP| \cdot |TQ|$ ，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和.

2021年全国新高考2卷题20

分值：12分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ ，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$ ，且离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设 $M,N$ 是椭圆 $C$ 上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^2+y^2=b^2(x \gt 0)$ 相切，证明： $M,N,F$ 三点共线的充要条件是 $|MN|=\sqrt{3}$ .

2022年全国卷甲题20

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=2px (p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p,0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M,N$ 两点. 当直线 $MD$ 垂直于 $x$ 轴时， $|MF|=3$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）设直线 $MD,ND$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A,B$ ，记直线 $MN,AB$ 的倾斜角分别为 $\alpha,\beta$ . 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时，求直线 $AB$ 的方程.

2022年全国卷乙题20

分值：12分

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2),B(\dfrac{3}{2},-1)$ 两点.

（1）求 $E$ 的方程；
（2）设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M,N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow {MT} = \overrightarrow {TH}$ . 证明：直线 $HN$ 过定点.

2022年全国新高考卷1题21

分值：12分

已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1(a \gt 1)$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，直线 $AP,AQ$ 的斜率之和为 $0$ .

（1）求 $l$ 的斜率；
（2）若 $\tan \angle PQA=2\sqrt{2}$ ，求 $\triangle PAQ$ 的面积.

2022年全国新高考卷2题21

分值：12分

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$ ，渐近线方程为 $y=\pm\sqrt{3}x$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点，点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上，且 $x_1 \gt x_2 \gt 0, y_1 \gt 0$ . 过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $M$ . 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

① $M$ 在 $AB$ 上；② $PQ//AB$ ；③ $|MA|=|MB|$ .

注∶若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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