1.2方程求根之不定点迭代法

作者: 张一根 | 来源:发表于2019-02-18 14:31 被阅读0次

1.2方程求根之不定点迭代法
【实验一】方程求根：牛顿迭代法
迭代思想
解线性方程组的迭代法：Jacobi迭代法与Gauss-Seide
1.3求根之牛顿迭代法
牛顿迭代法求平方根
数值分析读书笔记（3）求解线性代数方程组的迭代法
编写用牛顿迭代法求方程根的函数
牛顿迭代法求根C++
【机器学习】数值分析（1）—— 任意方程求根

前言

本章节讲的是另一种基础的求解方程的方法，不定点迭代法。

（一）不定点迭代法的分析

1.定义：

一般地，为了求解非线性方程：
$f(x)=0$
将其转换为等价的形式：
$x = \varphi(x)$
其中 $\varphi(x)$ 称为迭代函数。由于（1）与（2）具有相同的解：

则构造迭代公式有：
$x_{k+1} = \varphi(x_k), k=0,1,2···$
给定初值 $x_0$ ,并且 $\varphi(x)$ 是连续函数，则有：
$x^* = \lim_{k \to \infty} x_{k+1} = \lim_{k \to \infty} \varphi(x_{k})= \varphi(\lim_{k \to \infty} x_{k}) = \varphi(x^*)$

可得 $x^*$ 是方程的（4）的解，也是方程（1） $f(x)=0$ 的解。

上面的方法就称为：不定点迭代法

2.条件：

$\varphi(x)$ 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。

对于任意的 $x \in [a,b]$ ,则有 $\varphi(x) \in [a,b]$

在[a,b]内，存在一个常数L(0<L<1),使得 $|\varphi\prime(x)|\leq L < 1$ ,局部收敛

3.思想：

在收敛函数的前提下，不断的逼近真实值，直到满足我们的精度要求。

如下图，我们可以看到，给定初始值 $p_0$ 后，经过几次的迭代，取值P很逼近两函数的交点，也就是方程的解。

思想.jpg

4.误差：

要使 $x^*-x_k \leq \varepsilon$ ，只需要 $|x_{k+1}-x_k| \leq \varepsilon$

即可以用迭代前后两次的近似根的绝对值大小，来判断 $x_k$ 使否满足精度要求，从而终止迭代的条件。

（二）代码实现

1.流程图：

不定点迭代法.jpg

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

（2）不定点迭代法：

"""
    不定点迭代法，不断的逼近求解的方法
"""
from my_math.func_math import feval


def item_fun(expr, x_0, r):
    """
        不定点迭代法求解方程的根
    :param expr: 迭代函数的表达式
    :param r: 误差
    :return: 结果值
    """
    k = 0
    # 第一次两点的差距
    x_1 = feval(expr, x_0)
    x_2 = feval(expr, x_1)
    f_1 = abs(x_2 - x_1)

    # 第二次两点的差距
    x_1 = feval(expr, x_2)
    x_2 = feval(expr, x_1)
    f_2 = abs(x_2 - x_1)

    # 判断迭代函数是否收敛
    if f_1 <=  f_2:
        print("函数不收敛")
        result = None
    else:
        while abs(x_2-x_1) > r:
            x_1 = feval(expr, x_2)
            x_2 = feval(expr, x_1)
            k += 1
            print('*' * 20)
            print("次数", k)
            print("x_k", x_1)
            print("x_(k+1)", x_2)
        result = x_2
    print("最后的结果是：", result)
    return result


if __name__ == '__main__':
    item_fun("1+1/(x**2)", 1.45, 10**-15)
    # 最后的结果是： 1.4655713791984073

（三）案例演示

1.求解： $f(x)=x^3-x-1=0$

（1）迭代函数的选择

将 $f(x)$ 转化为等价的两种形式

$x=\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}$

$x = \varphi_2(x)=x^3-1$

1） $f(x)$ 的图像：

01.1.png

01.2.png

可知，其在1.2~1.4之间有解决。

2） $\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}$ 的图像：

01.png

02.png

函数收敛，取其初始值是：1.4

3） $\varphi_2(x)=x^3-1$ 的图像：

03.png

04.png

函数不收敛，不满足要求。

（2）运行结果

1）对于 $x=\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}$ 有：

要求其误差是：不超过10^-5

初始值是：1.4

次数： 1
x_k： 1.324736389945562
x_(k+1) ：1.3247213843988477

次数 2
x_k： 1.324718535206007
x_(k+1) ：1.324718155312702
最后的结果是： 1.324718155312702

取其结果是：1.32472

2）对于 $x = \varphi_2(x)=x^3-1$ 有：

函数不收敛
最后的结果是： None

2.求解： $f(x)=x^3-x^2-1=0$

（1）函数的选择

将函数转化为下面几种等价的形式

$x=\varphi(x_1)=1+\frac{1}{x^2}$

$x=\varphi(x_2)=\sqrt[3]{1+x^2}$

$x=\varphi(x_3)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

$x=\varphi(x_4)=\sqrt{x^3-1}$

$x=\varphi(x_5)=\frac{1}{x^2-x}$
$f(x)$ 的图像

06.png

05.png

可知，其在1.0~1.5之间有根。

（2）运行结果

要求其误差是：不超过10^-5

初始值是：1.5

1)对于 $\varphi(x_1)=1+\frac{1}{x^2}$

次数: 1
x_k: 1.4620902736993255
x_(k+1): 1.4677909186639455

…………

次数: 9
x_k: 1.465568837830036
x_(k+1): 1.4655726498903963
最后的结果是： 1.4655726498903963

取其结果是：1.46557

2）对于 $\varphi(x_2)=\sqrt[3]{1+x^2}$

次数: 1
x_k: 1.466243022306503
x_(k+1): 1.4658768155675745

…………

次数: 4
x_k: 1.4655770399093733
x_(k+1): 1.4655738557111386
最后的结果是： 1.4655738557111386

取其结果是：1.46557

3）对于 $\varphi(x_3)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

函数不收敛
最后的结果是： None

取其结果是：无

4）对于 $\varphi(x_4)=\sqrt{x^3-1}$

函数不收敛
最后的结果是： None

取其结果是：无

5）对于 $\varphi(x_5)=\frac{1}{x^2-x}$

函数不收敛
最后的结果是： None

取其结果是：无

3.求解： $f(x) = x^2-3=0$

（1）函数的选择

将函数转化为下面几种等价的形式

$x = \varphi(x_1)=x^2+x-3$

$x = \varphi(x_2)=\frac{3}{x}$

$x=\varphi(x_3)=x-\frac{1}{4}(x^2-3)$

$x=\varphi(x_4)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})$

$f(x)$ 的图像

07.png

08.png

可知，函数有两个根，其在-2与2附近之间有根。

（2）运行结果

要求其误差是：不超过10^-5

初始值是：-2与2

1）对于： $\varphi(x_1)=x^2+x-3$

函数不收敛
最后的结果是： None

取其结果值：无

2）对于： $\varphi(x_2)=\frac{3}{x}$

函数不收敛
最后的结果是： None

取其结果值：无

3）对于： $\varphi(x_3)=x-\frac{1}{4}(x^2-3)$

当初值为2时。

次数: 1
x_k: 1.732056325884
x_(k+1): 1.732051503216
最后的结果是： 1.732051503216

取为：1.73205

当初值为-2时。

次数: 1
x_k: 1.7079058866077501
x_(k+1): 1.728670273791

次数: 2
x_k: 1.731595007775
x_(k+1): 1.73198968899375

次数: 3
x_k: 1.7320426599749998
x_(k+1): 1.7320497615377501
最后的结果是： 1.7320497615377501

取为：1.73205

取其结果值：1.73205

4）对于： $\varphi(x_4)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})$

初始值是：2.0时，

最后的结果是： 1.7320508075688879

取为：1.7205

初始值是：-2.0时，

最后的结果是： -1.7320508075688879

取为：-1.73205

取其结果值：1.73205与-1.73205

作者：Mark

日期：2019/02/18 周一

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1.2方程求根之不定点迭代法

目录

前言

（一）不定点迭代法的分析

1.定义：

2.条件：

3.思想：

4.误差：

（二）代码实现

1.流程图：

2.源代码：

（1）feval函数：

（2）不定点迭代法：

（三）案例演示

1.求解：

（1）迭代函数的选择

1） 的图像：

2） 的图像：

3）的图像：

（2）运行结果

1）对于 有：

取其结果是：1.32472

2）对于有：

2.求解：

（1）函数的选择

（2）运行结果

1)对于

取其结果是：1.46557

2）对于

取其结果是：1.46557

3）对于

取其结果是：无

4）对于

取其结果是：无

5）对于

取其结果是：无

3.求解：

（1）函数的选择

（2）运行结果

1）对于：

取其结果值：无

2）对于：

取其结果值：无

3）对于：

取其结果值：1.73205

4）对于：

取其结果值：1.73205与-1.73205

作者：Mark

日期：2019/02/18 周一

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3） $\varphi_2(x)=x^3-1$ 的图像：

1）对于 $x=\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}$ 有：

2）对于 $x = \varphi_2(x)=x^3-1$ 有：

2.求解： $f(x)=x^3-x^2-1=0$

1)对于 $\varphi(x_1)=1+\frac{1}{x^2}$

2）对于 $\varphi(x_2)=\sqrt[3]{1+x^2}$

3）对于 $\varphi(x_3)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

4）对于 $\varphi(x_4)=\sqrt{x^3-1}$

5）对于 $\varphi(x_5)=\frac{1}{x^2-x}$

3.求解： $f(x) = x^2-3=0$

1）对于： $\varphi(x_1)=x^2+x-3$

2）对于： $\varphi(x_2)=\frac{3}{x}$

3）对于： $\varphi(x_3)=x-\frac{1}{4}(x^2-3)$

4）对于： $\varphi(x_4)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})$