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1.3求根之牛顿迭代法

1.3求根之牛顿迭代法

作者: 张一根 | 来源:发表于2019-02-19 13:33 被阅读0次

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    [TOC]

    前言

    今天我们讲的是具有收敛速度快,能求重根的解方程之法,牛顿迭代法。

    (一)牛顿迭代法的分析

    1.定义

    迭代公式如下:
    x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...)
    迭代函数是:
    \varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}
    由于\varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} 与原方程f(x)=0 等价。

    k\rightarrow \infty 时,x_k就是f(x)=0的近似解。

    该方法称为牛顿迭代方法。

    2.条件

    1. f(x)函数是连续可导函数。

    2. f(x)在局部收敛,当f(x) \times f\prime\prime(x)>0时,局部收敛。

      注意:牛顿迭代法的局部收敛性,很依赖于初始值的取法。

      也就是说,初始值的选取,决定该区域的收敛性。

    3.思想

    其总思想还是迭代的方法,只是其迭代公式是由泰勒展开得来的,其利用的是:用切线方程与x轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。

    4.误差

    任然用的是迭代法的误差,前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。

    (二)代码实现

    1.算法流程图

    牛顿迭代法.jpg

    2.源代码

    feval()函数

    def feval(string, a):
        """
            根据值来计算数学表达式。
        :param string: 含有x未知数的数学表达式
        :param a: 自变量x的具体数值
        :return:  数学表达式的计算结果
        """
        count = string.count("x")
        string = string.replace('x', '%f')
        t = (a, ) * count
        result = eval(string % t)
        return result
    

    float_num()函数

    def flaot_num(x, r):
        """
            处理保留几位小数点的函数,四舍五入法
        :param x: 原始数据
        :param r: 误差
        :return: 处理后的数据
        """
        # 处理小数点的位数
        r = str(r)
        if "." in r:
            dian = r.index(".")
            size = len(r[dian + 1:])
            result = round(x, size)
            return result
        elif "e" in r:
            dian = r.index("e")
            size = int(r[dian+2:])
            result = round(x, size)
            return result
        else:
            result = round(x, 0)
            return result
    

    牛顿迭代法

    """
        牛顿迭代法,迭代的思想,不断逼近。
    """
    # 求导数需要的库
    import sympy as sp
    from my_math.func_math import feval, flaot_num
    
    
    def new_fun(expr, x0, r):
        """
            牛顿迭代法求解方程的根
        :param expr: 代函数表达式
        :param x0: 初始值
        :param r: 误差
        :return: 计算的结果值
        """
        x = sp.Symbol('x')
        k = 0
        # 一阶导与二阶导
        fx_1 = str(sp.diff(expr))
        fx_2 = str(sp.diff(fx_1))
        # 迭代公式
        y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"
    
        # 判断收敛性
        if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:
            print("函数处于该点区域不收敛")
            result = None
        else:
            x1 = feval(y, x0)
            x2 = feval(y, x1)
    
            while abs(x2-x1) > r:
                x1 = feval(y, x2)
                x2 = feval(y, x1)
                k += 1
                print("次数:", k)
                print("x1:", x1)
                print("x2:", x2)
    
            result = flaot_num(x2, r)
            print("=" * 30)
            print("原始的数据是", x2)
            print("最后的结果是:", result)
        return result
    
    
    if __name__ == '__main__':
        new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)
    

    (三)案例演示

    1.求解:f(x)=x^3-x-1=0

    误差:10^-5

    图像分析(来确定初值)

    01.png 02.png

    取在1.5为初始值

    运行结果:

    03.png

    2.求解:f(x)=x^2-115=0

    误差:10^-5

    图像分析(来确定初值)

    04.png 05.png

    取11为初始值。

    运行结果:

    06.png

    3.求解:f(x)=x^3-x^2-x+1

    误差:10^-5

    图像分析(来确定初值)

    07.png 08.png

    取初始值为:1.6

    运行结果:

    09.png

    4.求解:f(x)=x^4-4x^2+4=0

    图像分析(来确定初值)

    10.png 11.png

    取初值是:0

    运行结果:

    12.png

    我们换另一个点试试,取初始值为2

    运行结果:

    13.png

    作者:Mark

    日期:2019/02/19 周二

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