PH525x series - Exercises - Line

本篇文章是PH525x series课程中Linear models and randomness的练习章节，下面是我自己做的答案，emmmmm，不保证对。

Q1：

 g = 9.8 
 h0 = 56.67
 v0 = 0
 n = 25
 tt = seq(0,3.4,len=n) 
 y = h0 + v0 *tt - 0.5* g*tt^2 + rnorm(n,sd=1)

在自由落体问题中，圆球距离地面的高度的计算公式为，假如我们不知道，和的具体值，就需要通过线性回归的方法进行评估:

注意，那么如果在R中通过如下代码计算LSE：

n = 25
tt = seq(0,3.4,len=n) 
X <- cbind(1,tt,tt^2)
A <- solve(crossprod(X))%*%t(X) 

那么如下哪个选项是的LSE ？

• A) 9.8
• B) A%*% y
• C) -2 * (A %*% y)[3]
• D) A[3,3]

根据公式可知，该题在计算时少乘了一个，通过正确的计算公式会得到3个值，分别对应着、和，而题目中已给出提示：，所以应该选择C

Q2:

上述代码使用了rnorm()函数生成随机误差，这就意味着每重复一次代码，的评估值就会不同。现在要求使用replicate()函数重复运行上述代码100,000次，每次均计算的估计值。那么这个估计值的标准误是多少？

首先，一个估计值的标准误其实就是该估计值采样分布的标准差。所以，在R中我们可以：

n = 25
tt = seq(0,3.4,len=n) 
X <- cbind(1,tt,tt^2)

calg <- function(X){
  Y <- h0 + v0 *tt - 0.5* g*tt^2 + rnorm(n,sd=1)
  lse <- solve(crossprod(X))%*%t(X)%*%Y
  -2*lse[3]
}
rep <- replicate(100000,calg(X))
head(rep)
#[1] 10.441920 10.126645  9.555041 10.085362  9.385787  9.878968

sd(rep)
#[1] 0.4297456

所以估计值的标准误是0.4297456

Q3:

如果假设父与子身高数据是完整的群体数据，现在我们分别从父亲与儿子群体中随机采50个样，并重复10,000次，那么斜率估计值的标准误是多少？

 library(UsingR)
 x = father.son$fheight
 y = father.son$sheight
 n = length(y)
 N = 50

coef <- function(dat){
  index = sample(n,N)
  sampledat = dat[index,]
  x = sampledat$fheight
  y = sampledat$sheight
  lm(y~x)$coef
} 

rep <- replicate(10000,coef(father.son))
sd(rep)
#[1] 17.65376

所以答案是17.65376

Q4:

假设，，那么和的协方差定义如下：

那么，下列哪个选项与父与子身高的协方差最接近？

• A)0
• B)-4
• C)4
• D)0.5

 library(UsingR)
 x = father.son$fheight
 y = father.son$sheight
covar <- mean((y-mean(y))*(x-mean(x))) 
print(covar)
#[1] 3.869739

所以答案应该选择C