思考
◼设计一种数据结构，用来存放整数，要求提供 3 个接口
添加元素
获取最大值
删除最大值
◼ 有没有更优的数据结构?
堆
✓ 获取最大值:O(1)、删除最大值:O(logn)、添加元素:O(logn)
Top K问题
◼什么是 Top K 问题
从海量数据中找出前 K 个数据
◼比如
从 100 万个整数中找出最大的 100 个整数
◼Top K 问题的解法之一:可以用数据结构“堆”来解决
堆(Heap)
◼ 堆(Heap)也是一种树状的数据结构(不要跟内存模型中的“堆空间”混淆)，常见的堆实现有
1、二叉堆(Binary Heap，完全二叉堆)
2、多叉堆(D-heap、D-ary Heap)
3、索引堆(Index Heap)
4、二项堆(Binomial Heap)
5、斐波那契堆(Fibonacci Heap)
6、左倾堆(Leftist Heap，左式堆)
7、斜堆(Skew Heap)
◼堆的一个重要性质:任意节点的值总是 ≥( ≤ )子节点的值
如果任意节点的值总是 ≥ 子节点的值，称为:最大堆、大根堆、大顶堆
如果任意节点的值总是 ≤ 子节点的值，称为:最小堆、小根堆、小顶堆
◼ 由此可见，堆中的元素必须具备可比较性(跟二叉搜索树一样)
堆的基本接口设计
int size(); // 元素的数量
boolean isEmpty(); // 是否为空
void clear(); // 清空
void add(E element); // 添加元素
E get(); // 获得堆顶元素
E remove(); // 删除堆顶元素
E replace(E element); // 删除堆顶元素的同时插入一个新元素
二叉堆(Binary Heap)
◼ 二叉堆的逻辑结构就是一棵完全二叉树，所以也叫完全二叉堆
◼ 鉴于完全二叉树的一些特性，二叉堆的底层(物理结构)一般用数组实现即可
◼ 索引 i 的规律( n 是元素数量)
如果 i = 0 ，它是根节点
如果 i > 0 ，它的父节点的索引为 floor( (i – 1) / 2 ) （向下取整）
如果 2i + 1 ≤ n – 1，它的左子节点的索引为 2i + 1
如果 2i + 1 > n – 1 ，它无左子节点
如果 2i + 2 ≤ n – 1 ，它的右子节点的索引为 2i + 2
如果 2i + 2 > n – 1 ，它无右子节点
获取最大值
最大堆 – 添加
最大堆 – 添加 – 总结
◼循环执行以下操作(图中的 80 简称为 node)
如果 node > 父节点
✓ 与父节点交换位置
如果 node ≤ 父节点，或者 node 没有父节点
✓ 退出循环
◼这个过程，叫做上滤(Sift Up)
时间复杂度:O(logn)
最大堆 – 添加 – 交换位置的优化
◼ 一般交换位置需要3行代码，可以进一步优化
将新添加节点备份，确定最终位置才摆放上去
◼ 仅从交换位置的代码角度看
可以由大概的 3 * O(logn) 优化到 1 * O(logn) + 1
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
ensureCapacity(size + 1);
elements[size++] = element;
siftUp(size - 1);
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
// 扩容
private void ensureCapacity(int capacity) {
int oldCapacity = elements.length;
if (oldCapacity >= capacity) return;
// 新容量为旧容量的1.5倍
int newCapacity = oldCapacity + (oldCapacity >> 1);
E[] newElements = (E[]) new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newElements[i] = elements[i];
}
elements = newElements;
}
/**
* 让index位置的元素上滤
* @param index
*/
private void siftUp(int index) {
E element = elements[index];// 添加的元素
while (index > 0) {
int parentIndex = (index - 1) >> 1;
E parent = elements[parentIndex];
if (compare(element, parent) <= 0) break;
// 将父元素存储在index位置
elements[index] = parent;
// 重新赋值index
index = parentIndex;
}
elements[index] = element;
}
最大堆 – 删除
最大堆 – 删除 – 总结
- 用最后一个节点覆盖根节点
- 删除最后一个节点
- 循环执行以下操作(图中的43简称为node)
如果 node < 最大的子节点
✓ 与最大的子节点交换位置
如果 node ≥ 最大的子节点， 或者 node 没有子节点
✓ 退出循环
◼这个过程，叫做下滤(Sift Down)，时间复杂度:O(logn)
◼ 同样的，交换位置的操作可以像添加那样进行优化
最大堆 – 删除
@Override
public E remove() {
emptyCheck();
int lastIndex = --size;
E root = elements[0];
elements[0] = elements[lastIndex];
elements[lastIndex] = null;
siftDown(0);
return root;
}
private void emptyCheck() {
if (size == 0) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Heap is empty");
}
}
/**
* 让index位置的元素下滤
* @param index
*/
private void siftDown(int index) {
E element = elements[index];
int half = size >> 1;
// 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量
// index < 第一个叶子节点的索引
// 必须保证index位置是非叶子节点
while (index < half) {
// index的节点有2种情况
// 1.只有左子节点
// 2.同时有左右子节点
// 默认为左子节点跟它进行比较
int childIndex = (index << 1) + 1;
E child = elements[childIndex];
// 右子节点
int rightIndex = childIndex + 1;
// 选出左右子节点最大的那个
if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {
child = elements[childIndex = rightIndex];
}
if (compare(element, child) >= 0) break;
// 将子节点存放到index位置
elements[index] = child;
// 重新设置index
index = childIndex;
}
elements[index] = element;
}
replace
// 删除堆顶元素的同时插入一个新元素
@Override
public E replace(E element) {
elementNotNullCheck(element);
E root = null;
if (size == 0) {
elements[0] = element;
size++;
} else {
root = elements[0];
elements[0] = element;
siftDown(0);
}
return root;
}
最大堆 – 批量建堆(Heapify)
◼批量建堆，有 2 种做法
自上而下的上滤
自下而上的下滤
最大堆 – 批量建堆 – 自上而下的上滤
最大堆 – 批量建堆 – 自上而下的下滤
最大堆 – 批量建堆 – 效率对比
◼ 所有节点的深度之和
仅仅是叶子节点，就有近 n/2 个，而且每一个叶子节点的深度都是 O(logn) 级别的
因此，在叶子节点这一块，就达到了 O(nlogn) 级别
O(nlogn) 的时间复杂度足以利用排序算法对所有节点进行全排序
◼ 所有节点的高度之和
假设是满树，节点总个数为 n，树高为 h，那么 n = 2h − 1
所有节点的树高之和：
H(n) = 20 ∗ (h−0) +21 ∗ (h−1) +22 ∗ (h−2) +⋯+2h−1 ∗[h− (h−1)]
H(n) = h∗ (20+21+22+⋯+2h−1 )− [1∗21+2∗22+3∗23+⋯+ (h−1)∗2h−1]
H(n) = h∗ (2h −1) − [(h−2)∗2h+2]
H(n) = h∗2^h −h−h∗2h +2h+1 −2
H(n) = 2h+1 −h−2 = 2∗(2h −1)−h
H(n) = 2n −h
H(n) = 2n−log2(n+1)
H(n) = O(n)
公式推导
◼S(h) = 1∗21 +2∗22 +3∗23 +⋯+ (h−2) ∗2h−2 + (h−1) ∗2h−1
◼2S(h)=1∗22+2∗23+3∗24+⋯+ (h−2) ∗2h−1+ (h−1) ∗2h
◼S(h)–2S(h)=[21+22+23+⋯+2h−1^]− (h−1) ∗2h=(2h−2)− (h−1) ∗2h
◼S(h) = (h−1) ∗2h −(2h −2) = (h−2) ∗2h +2
疑惑
◼ 以下方法可以批量建堆么
自上而下的下滤
自下而上的上滤
◼ 上述方法不可行，为什么?
认真思考【自上而下的上滤】、【自下而上的下滤】的本质
批量建堆
public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
if (elements == null || elements.length == 0) {
this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];
} else {
size = elements.length;
int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);
this.elements = (E[]) new Object[capacity];
for (int i = 0; i < elements.length; i++) {
this.elements[i] = elements[i];
}
heapify();
}
}
/**
* 批量建堆
*/
private void heapify() {
// 自上而下的上滤
// for (int i = 1; i < size; i++) {
// siftUp(i);
// }
// 自下而上的下滤 - 效率高
for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
如何构建一个小顶堆?
static void test() {
System.out.println("------------------------------------- 最小堆");
Integer[] data = {88, 44, 53, 41, 16, 6, 70, 18, 85, 98, 81, 23, 36, 43, 37};
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(data, new Comparator<Integer>() {
// 修改比较策略即可
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
// return o1 - o2;// 最大堆
return o2 - o1;// 最小堆
}
});
BinaryTrees.println(heap);
}
Top K问题
◼从 n 个整数中，找出最大的前 k 个数( k 远远小于 n )
◼如果使用排序算法进行全排序，需要 O(nlogn) 的时间复杂度
◼如果使用二叉堆来解决，可以使用 O(nlogk) 的时间复杂度来解决
新建一个小顶堆
扫描 n 个整数
✓先将遍历到的前 k 个数放入堆中
✓从第 k + 1 个数开始，如果大于堆顶元素，就使用 replace 操作(删除堆顶元素，将第 k + 1 个数添加到堆中)
扫描完毕后，堆中剩下的就是最大的前 k 个数
static void test() {
System.out.println("------------------------------------- Top K问题");
// 新建一个小顶堆
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(new Comparator<Integer>() {
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2 - o1;
}
});
// 找出最大的前k个数
int k = 3;
Integer[] data = {51, 30, 39, 92, 74, 25, 16, 93,
91, 19, 54, 47, 73, 62, 76, 63, 35, 18,
90, 6, 65, 49, 3, 26, 61, 21, 48};
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
if (heap.size() < k) { // 前k个数添加到小顶堆
heap.add(data[i]); // logk
} else if (data[i] > heap.get()) { // 如果是第k + 1个数，并且大于堆顶元素
heap.replace(data[i]); // logk
}
}
// O(nlogk)
BinaryTrees.println(heap);
}
◼如果是找出最小的前 k 个数呢?
用大顶堆
如果小于堆顶元素，就使用 replace 操作
static void test7() {
System.out.println("------------------------------------- Top K问题");
// 新建一个小顶堆
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(new Comparator<Integer>() {
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o1 - o2;
}
});
// 找出最小的前k个数
int k = 3;
Integer[] data = {51, 30, 39, 92, 74, 25, 16, 93,
91, 19, 54, 47, 73, 62, 76, 63, 35, 18,
90, 6, 65, 49, 3, 26, 61, 21, 48};
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
if (heap.size() < k) { // 前k个数添加到小顶堆
heap.add(data[i]); // logk
} else if (data[i] < heap.get()) { // 如果是第k + 1个数，并且小于堆顶元素
heap.replace(data[i]); // logk
}
}
// O(nlogk)
BinaryTrees.println(heap);
}
作业
◼ 了解和实现堆排序
◼ 使用堆排序将一个无序数组转换成一个升序数组
空间复杂度能否下降至 O(1)?
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