大多数机器对整数使用补码编码，而对浮点数使用IEEE标准754编码。在位级上理解这些编码，且理解其算术运算的数学优缺点，对正确使用编程语言避免漏洞来说，非常重要。
1、整数运算
(1). 无符号加法
针对w位无符号数：
溢出判断：
(2). 补码加法（有符号加法）
针对w位补码：
溢出判断：
(3). 无符号乘法：
(4). 补码乘法（有符号乘法）：先做无符号乘法，再把无符号数转为补码
(5). 乘2的幂次
无符号数与有符号数一致左移位操作，再做截断操作
(6). 除2的幂次
无符号数除2的幂次 = 无符号数右移位 + 向下舍入 + 截断操作
有符号数除2的幂次，如果也按无符号数采取右移位，存在舍入问题。因为被除数为负数时，向下舍入并不合理，例如：-171.25=-172，需向上舍入，例如-171.25 = -171。 采用加偏置进行向上舍入,即x/y向上舍入=(x+y-1)/y向下舍入，即[(x+(1<<k)-1)>>k]，再做截断操作。
整数运算小结：
表示数字的有限字长限制了可能的值的取值范围，运算结果可能溢出。整数运算均满足交换律、结合律、分配律。补码表示提供了一种既能表示正数也能表示负数的方法，同时使用了与执行无符号相同的位级实现，针对算术运算，无论无符号数还是有符号数表示形式，都有完全一样或者相似的位级行为。
2、浮点数运算
(1). 浮点数表示：S:符号，M：尾数，E：阶码
浮点数编码分为三种类型：(1)、规格化的值；(2)、非规格化的值；(3)、特殊的值；
(1). 规格化的值
条件：exp即不全为0，也不全为1时：
M = 1(隐式默认值) + Frac(51:0)
E = exp - [(2<<k-1) - 1] k为阶码长度11
规格化的值的数量为：[(2<<k)-2]*[2<<63-k]
(2). 非规格化的值
条件：exp全为0时：
M = Frac(51:0)
E = - [(2<<k-1) - 1]
E != 1-[(2<<k-1)-1] 原因：非规格化的值提供非常接近0.0的浮点数编码，去掉1可以起到从非规格化数值到规格化数值之间的平滑过渡。
(3). 特殊的值
条件exp全为1时：
小数域Frac(51:0)全为0时，V代表无穷大；Frac(51:0)为非0时，V为NaN代表“不是一个数”
由于有限的位数限制，浮点数数量为[(2<<k)-1]*[2<<63-k]，浮点数在数轴上的分布规律越靠近0越密集,反之间隔越大，非规格化数值在表示范围内为均匀分布。（存在精度问题），所以浮点数运算只能近似的表示实数运算，IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入方式（向偶数舍入、向零舍入、向下舍入、向上舍入）。
(2). 浮点运算
* 浮点运算满足交换律，不满足结合律、分配律。
* 浮点加法满足单调性，乘法满足条件单调性。
* 浮点运算缺乏结合律、分配律可能会存在很严重的问题。
* 将大的浮点数转换成整数是一种很常见的程序错误来源。
* 当浮点数非常接近0.0，从而转换成零时，也会下溢。
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