圆锥曲线中的对称问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-04-13 09:22 被阅读0次

在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.

方法一判别式法

判别式法解圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题步骤：

第一步假设这样的对称点 $A$ 、 $B$ 存在，利用对称中的垂直关系设出两点 $A$ 、 $B$ 所在的直线方
程；
第二步联立 $AB$ 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点 $C$ 的坐标；
第三步把 $C$ 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；
第四步利用联立后方程的 $\Delta$ 求出其中需求参数的范围.
例1. 已知椭圆 $C:3x^2＋4y^2=12$ ,试确定 $m$ 的取值范围，使得对于直线 $l:y=4x＋m$ ，椭圆 $C$ 上有不同两点关于这条直线对称.

解析：设存在两点 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 关于 $l$ 对称，中点为 $C(x_0,y_0)$ ，

则 $AB$ 所在直线为 $y=-\dfrac{1}{4}x+b$ ，

与椭圆联立得： $\dfrac{13}{4}x^2-2bx+4b^2-12=0$ ，

所以 $\therefore \begin{cases}x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{4b}{13}\\y_0=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}x_1+b-\dfrac{1}{4}x_2+b}{2}=\dfrac{12b}{13}\end{cases}$

$\because C$ 在 $y=4x+m$ 上

$\because \dfrac{12b}{13}=\dfrac{4b}{13} \times 4 +m$ ， $b=-\dfrac{13m}{4}$

又 $\because \Delta=4b^2-4 \times\dfrac{13}{4}(4b^2-12)=4b^2-52b^2+13 \times 12>0$

故 $b^2 <\dfrac{13}{4}$ ，即 $\dfrac{169m^2}{16}<\dfrac{13}{4}$

解得： $－\dfrac{2\sqrt{13}}{13}<m<\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ .
【总结】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为 $－1$ ）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的 $\Delta$ 产生.

例2、在以 $O$ 为原点的直角坐标系中，点 $A(4，-3)$ 为 $\triangle OAB$ 的直角顶点，已知 $|AB|=2|OA|$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于零.
（1）求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标；
（2）求圆 $x^2-6x+y^2+2y=0$ 关于直线 $OB$ 对称的圆的方程；
（3）是否存在实数 $a$ ，使抛物线 $y=ax^2-1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 $a$ 的取值范围.
【解析】
（1）设 $\overrightarrow{AB}=(u,v)$ ，

则由 $\begin{cases}|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{OA}|\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OA}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}u^2+v^2=100\\4u-3v=0\end{cases}$ .
解得 $\begin{cases}u=6\\v=8\end{cases}$ ，　或 $\begin{cases}u=-6\\v=-8\end{cases}$ .
$∵\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(u+4,v-3)$ ，

$∴v-3>0$ ，
得 $v=8$ ，故 $\overrightarrow{AB}=(6,8)$ .

(2)由 $\overrightarrow{OB}=(10,5)$ ，得 $B(10,5)$ ，于是直线 $OB$ 的方程为 $y=\dfrac{1}{2}x$

由题设可知圆的标准方程为 $(x-3)^2+(y+1)^2=10$ ，

所以圆心 $(3,-1)$ ，半径为 $\sqrt{10}$

设圆心 $(3,-1)$ 关于直线 $OB$ 的对称点为 $(x,y)$

则 $\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}-2\cdot\dfrac{y-1}{2}=0\\\dfrac{y+1}{x-3}=2\end{cases}$ ，解得 $\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$

故所求圆的方程为 $(x-1)^2+(y-3)^2=10$

（3）设 $P(x_1,y_1)$ ， $Q(x_2,y_2)$ 为抛物线上关于直线 $OB$ 对称的两点，

则： $\begin{cases}\dfrac{x_1+x_2}{2}-2\cdot\dfrac{y_1+y_2}{2}=0\\\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=2\end{cases}$ ，　整理得： $\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{2}{a}\\x_1x_2=-\dfrac{5-2a}{2a^2}\end{cases}$ ，
即 $x_1$ ， $x_2$ 为方程 $x^2+\dfrac{2}{a}+\dfrac{5-2a}{2a^2}=0$ 的两个相异实根.
于是由 $\Delta=\dfrac{4}{a^2}-4\cdot \dfrac{5-2a}{2a^2}>0$ ，得 $a>\dfrac{3}{2}$ .
故当 $a>\dfrac{3}{2}$ .时，抛物线 $y=ax^2-1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两点.
【总结】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.