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在第一课第二周的的课程中，ng以识别图片中是否有猫为例，简单介绍了一下二分类（Binary Classification）问题，以此引出对数几率回归算法(Logistic Regression)。Logistic Regression 是一种常用的二分类问题求解算法，通常用于处理监督学习（supervised learning）相关问题。在讲解LR（Logistic Regression）算法的过程中，ng穿插着介绍了梯度下降（Gradient Descent）、导数（derivatives）、计算图（computation graph）和向量化（Vectorization）。此外，ng还特意介绍了Python中的广播（Boradcasting）机制，一种有效提高计算效率的方法，也可以认为是向量化在python中的实现。
在这份笔记中，我将先记录导数（derivatives）、计算图（computation graph）、向量化（Vectorization）等基本概念，然后记录梯度下降（Gradient Descent）相关知识，最后记录Logistic Regression算法及案例 — 识别图片中是否有猫。
名词约定
| 名词 | 含义 |
|---|---|
| ng | Andrew Ng, 吴恩达老师 |
| 数据集 | 所有个案构成的集合 |
| 样本 | 数据集中的某一个案 |
| 特征 | 样本中的变量 |
1.1 - 导数（derivative）基础
直观上理解，导数的意义是计算函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的斜率，即$y=f(x)$的变化速率。
导数的定义如下：
基本求导法则：
函数的和、差、积、商的求导法则：
复合函数的求导法则：
注：以上图片来自于同济大学编写的《高等数学（第六版）》。
1.2 - 计算图（computation graph）
computatiom graph 是用有向箭头表示数据流动方向、方框表示计算内容的计算流程图，能够很好的描述算法的整个计算过程，对于理解算法很有帮助。ng给出的一个案例如下：
1.3 - 向量化（vectorization）
向量化是提高计算效率的有效方法，其核心思想是将需要循环的累加、累乘等计算任务，通过合适的数据转换（如：转置、广播、堆叠等），变成矩阵或向量计算任务。
import numpy as np
x1 = np.linspace(1, 100, 10000)
x2 = np.linspace(1, 10, 10000)
# 假设要计算想x1与x2的乘积和
# 使用循环进行计算
%timeit -qo sum([x1[i]*x2[i] for i in range(x1.shape[0])])
<TimeitResult : 100 loops, best of 3: 5.26 ms per loop>
# 使用向量化方法进行计算
%timeit -qo np.dot(x1, x2)
<TimeitResult : 100000 loops, best of 3: 4.19 µs per loop>
比较以上两个计算耗时，可以发现：向量化计算x1与x2的乘积和比循环的方法块1000多倍！！！
2.1 - 梯度下降法（Gradient Descent）
梯度下降法（Gradient Descent）是一个最优化算法，通常也称为最速下降法，它将负梯度方向作为搜索方向，越接近最优化目标，步长越小，前进越慢，当步长小于一个给定的值或迭代次数达到设定的上限，迭代停止。
如果你想了解更多关于梯度下降法的知识，请点击 wiki - Gradient descent
2.2 - 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
SGD的优势在于，每一次迭代中随机选取一个样本计算梯度，而不是使用全部样本。
SGD不需要记录哪些样例已经在前面的迭代过程中被访问过，有时候随机梯度下降能够直接优化期望风险，因为样例可能是随机从真正的分布中选取的。
如果你想了解更多关于随机梯度下降法的知识，请点击 wiki - Stochastic Gradient descent
3 - 对数几率回归（Logistic Regression）
事实上，Logistic Regression是一个简单的神经网络。由于 LR 本质上是一个线性回归模型，因此 LR 主要适用于线性可分（linearly separable）的二分类问题，也可以应用于线性可分的多分类问题(案例)。
ng在讲解Logistic Regression算法时，以图像中是否有猫这个经典的二分类问题为例，将整个算法流程做了介绍，并在作业中引导学习者实现了这一算法。
使用训练好的LR模型判断图片中是否有猫的过程如下图：
3.1 - 符号约定
3.2 - 基本概念
- Sigmoid函数
- 损失函数（loss function）
- 成本函数（cost function）
3.2.1 - Sigmoid函数
sigmoid函数是一个非线性函数，在机器学习和深度学习中都有应用，有时也称作对数几率函数（logistic function）。
sigmoid函数及其导数的Python实现如下：
import numpy as np
%matplotlib inline
def sigmoid(x):
"""
Compute the sigmoid of x
Arguments:
x -- A scalar or numpy array of any size
Return:
s -- sigmoid(x)
"""
s = 1.0 / (1.0 + np.exp(-x))
return s
def sigmoid_derivative(x):
"""
Compute the derivative of the sigmoid function with respect to its input x.
Arguments:
x -- A scalar or numpy array
Return:
ds -- Your computed gradient.
"""
s = sigmoid(x)
ds = s * (1 - s)
return ds
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-10, 10, 10000)
y_sigmoid = sigmoid(x)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(x, y_sigmoid)
3.2.2 - 损失函数（loss function）
3.2.3 - 成本函数（cost function）
3.3 - LR模型训练过程
3.3.1 - 初始化参数
3.3.2 - 计算当前参数对应的cost（成本）和gradient（梯度）
3.3.3 使用梯度下降法更新参数
满足以下任一条件，迭代停止：
- 迭代次数超过num_iterations
- 参数更新步长（梯度）小于一个给定的值
3.3.4 输出训练好的参数，得到LR模型
使用梯度下降法更新参数完成之后，可以得到最终的 W和 b，即LR模型确定。接下来，就可以使用这个模型去进行新样本的预测了。
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