KM算法入门

萌萌的讲解
以下为部分摘取
　　最大二分匹配：在一个二分图中找到P->q的一个匹配方案，使得匹配中的边数量不小于任何其他的匹配。
　　完备二分匹配：在一个二分图中找到p->q的一个匹配方案，使得p中所有点出现在该匹配中。
　　二分图的带权匹配：求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。
　　二分图的最优匹配：为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最优匹配不等价，也不互相包含。

KM算法实现求二分图的最优匹配。KM算法可以实现为O(N^3)。

[KM算法的几种转化]

• KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。
• KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
• KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

KM算法的邻接矩阵模板:

const int MAXN = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int love[MAXN][MAXN];   // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN];      // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN];       // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN];    // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN];     // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN];        // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN];        // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值

int n,m;
bool dfs(int girl)
{
    vis_girl[girl] = true;

    for (int boy = 0; boy < m; ++boy) {

        if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次

        int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];

        if (gap == 0) {  // 如果符合要求
            vis_boy[boy] = true;
            if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) {    // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人
                match[boy] = girl;
                return true;
            }
        } else {
            slack[boy] = min(slack[boy], gap);  // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸
        }
    }

    return false;
}

int KM()
{
    memset(match, -1, sizeof match);    // 初始每个男生都没有匹配的女生
    memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy);   // 初始每个男生的期望值为0

    // 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ex_girl[i] = love[i][0];
        for (int j = 1; j < m; ++j) {
            ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
        }
    }

    // 尝试为每一个女生解决归宿问题
    for (int i = 0; i < n; ++i) {

        fill(slack, slack + m, INF);    // 因为要取最小值 初始化为无穷大

        while (1) {
            // 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止

            // 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过
            memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
            memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);

            if (dfs(i)) break;  // 找到归宿 退出

            // 如果不能找到 就降低期望值
            // 最小可降低的期望值
            int d = INF;
            for (int j = 0; j < m; ++j)
                if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);
            if(d==INF) return -1;  //无法松弛,找不到完备匹配
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                // 所有访问过的女生降低期望值
                if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;
            }

            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                // 所有访问过的男生增加期望值
                if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;
                // 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！
                else slack[j] -= d;
            }
        }
    }

    // 防止匹配到不存在的边
    int res = 0,flag=0;
    for(int i = 0; i < m; i++){
        if(match[i]==-1||love[match[i]][i]==-INF)
            continue;
        res += love[match[i]][i];
        flag++;
    }
    if(flag<n) res=-1;
    return res;
}