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3.3 形式化的量子力学统计 Statistics in for

3.3 形式化的量子力学统计 Statistics in for

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-06-18 21:02 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=3ZQfN_T6YYc&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=37

前言

统计也是量子力学的研究中至关重要的一部分，因为量子力学研究的根本就是求解可观测量的本征性质。

1. 可观测算符\hat Q

方程如下：
\hat Q |\psi \rangle = q | \psi \rangle
此时薛定谔方程的解有两种情况

  • \hat Q得到的本征态是离散的

    • \{|\psi \rangle \} \ \ \ \{ q_n\}
      通解：|f\rangle = \sum_n a_n |\psi_n \rangle
      概率计算公式： a_i = \langle \psi_i | f\rangle
    • 测量\hat Q
      假设测得本征值:q_i \in \{ q_n\}
      计算该本征值出现的概率：|a_n|^2

  • \hat Q得到的本征态是连续的

    • |\psi (q) \rangle \ \ \ q
      通解：|f\rangle = \int dq f(q) |\psi(q) \rangle
      概率计算公式：f(a)= \langle \psi(a) | f\rangle
    • 测量\hat Q
      假设测得本征值：q_0 < q < q_0 + dq
      计算该本征值出现的概率：|f(q)|^2dq

测量相当于使波函数坍塌成对应的本征态。

2. 归一化和期望

上面得到可能的概率表达式，但是什么时候满足归一化条件呢：

  • 离散

    • 归一化
      |f\rangle = \sum_n a_n |\psi_n \rangle
      \Rightarrow \langle f|f \rangle = ( \sum_n a_n |\psi_n \rangle)(\sum_n a_n |\psi_n \rangle) \ \ \rightarrow \sum a_n^* a_n =1
      *这里只有当n=m的时候，波函数的内积才不是0，而是1。
    • 求\hat Q的期望
      \langle Q\rangle = \langle f| \hat Q f \rangle
      \Rightarrow (\sum_n a_n^* \langle \psi_n |)( \sum_m a_m \underbrace{\hat Q|\psi_m \rangle}_{=q_m |\psi \rangle})
      \Rightarrow \sum_n \sum_m a_n^* a_m q \langle \underbrace{\psi_n | \psi_m \rangle}_{\delta_nm} \rightarrow \sum_n |a_n|^2 q_n

  • 连续

    • 归一化
      通解：|f\rangle = \int dq f(q) |\psi(q) \rangle

    \langle f|f \rangle = ( \int dq_1 f^*(q_1) |\langle \psi(q_1) |)( \int dq_2 f(q_2) |\psi(q_2) \rangle)
    同理，只有q_1 = q_2 才不等于0
    \Rightarrow \int |f(a)|^2dq =1

    • 求期望
      \langle Q \rangle = ( \int dq_1 f^*(q_1) |\langle \psi(q_1) |)( \int dq_2 f(q_2) \underbrace{\hat Q |\psi(q_2) \rangle}_{=q_2 |\psi(q_2) \rangle }
      =\int dq_1 \int dq_2 f^*(q_1) f(q_2) q_2 \underbrace{\langle \psi(q_1) | \psi(q_2) \rangle}_{\delta(q_1-q_2)} dq
      = \int dq_1 f^*(q_1) f(q_1) q_1 = \int |f(q)|^2 q dq

3. 举例

以动量算符\hat q举例：
\hat p |\psi \rangle = p |\psi \rangle
即求解下式：
\Rightarrow \frac h i \frac d {dx} f_p(x) = p f_p (x)
通解解：
f_p(x) = A e^{ipx/h}

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