交叉熵损失函数原理详解
- 之前在代码中经常看见交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss)，只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数，对于其内部的原理总是模模糊糊，而且一般使用交叉熵作为损失函数时，在模型的输出层总会接一个softmax函数，至于为什么要怎么做也是不懂，所以专门花了一些时间打算从原理入手，搞懂它，故在此写一篇博客进行总结，以便以后翻阅。
交叉熵简介
- 交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，要理解交叉熵，需要先了解下面几个概念。
信息量
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信息奠基人香农（Shannon）认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”，也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。
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“太阳从东边升起”，这条信息并没有减少不确定性，因为太阳肯定是从东边升起的，这是一句废话，信息量为0。
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”2018年中国队成功进入世界杯“，从直觉上来看，这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大，而这句话消除了进入世界杯的不确定性，所以按照定义，这句话的信息量很大。
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根据上述可总结如下：信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。
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设某一事件发生的概率为P(x)，其信息量表示为：
其中I(x)I(x)表示信息量，这里loglog表示以e为底的自然对数。
信息熵
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信息熵也被称为熵，用来表示所有信息量的期望。
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期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
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所以信息量的熵可表示为：（这里的X是一个离散型随机变量）
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使用明天的天气概率来计算其信息熵：
| 序号 | 事件 | 概率P | 信息量 |
|---|---|---|---|
| 1 | 明天是晴天 | 0.5 | |
| 2 | 明天出雨天 | 0.2 | |
| 3 | 多云 | 0.3 |
对于0-1分布的问题，由于其结果只用两种情况，是或不是，设某一件事情发生的概率为P(x)，则另一件事情发生的概率为1−P(x)，所以对于0-1分布的问题，计算熵的公式可以简化如下：
相对熵（KL散度）
如果对于同一个随机变量X有两个单独的概率分布P(x)和Q(x)，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。
下面直接列出公式，再举例子加以说明。
在机器学习中，常常使用P(x)来表示样本的真实分布，Q(x)来表示模型所预测的分布，比如在一个三分类任务中（例如，猫狗马分类器），x1,x2,x3分别代表猫，狗，马，例如一张猫的图片真实分布P(X)=[1,0,0], 预测分布Q(X)=[0.7,0.2,0.1]，计算KL散度：
KL散度越小，表示P(x)与Q(x)的分布更加接近，可以通过反复训练Q(x)来使Q(x)的分布逼近P(x)。
交叉熵
首先将KL散度公式拆开：
前者H(p(x))表示信息熵，后者即为交叉熵，KL散度 = 交叉熵 - 信息熵
交叉熵公式表示为：
在机器学习训练网络时，输入数据与标签常常已经确定，那么真实概率分布P(x)也就确定下来了，所以信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布P(x)与预测概率分布Q(x)之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度，而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss就行了。
交叉熵在单分类问题中的应用
在线性回归问题中，常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数，而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。
下面通过一个例子来说明如何计算交叉熵损失值。
假设我们输入一张狗的图片，标签与预测值如下：
| * | 猫 | 狗 | 马 |
|---|---|---|---|
| Label | 0 | 1 | 0 |
| Pred | 0.2 | 0.7 | 0.1 |
那么loss
一个batch的loss为
其中m表示样本个数。
总结：
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交叉熵能够衡量同一个随机变量中的两个不同概率分布的差异程度，在机器学习中就表示为真实概率分布与预测概率分布之间的差异。交叉熵的值越小，模型预测效果就越好。
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交叉熵在分类问题中常常与softmax是标配，softmax将输出的结果进行处理，使其多个分类的预测值和为1，再通过交叉熵来计算损失。
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